JEAN PIAGET (2)

 copyright © Educare.it – Anno XIII, N. 1 – Gennaio 2013

JEAN PIAGET E IL PROBLEMA DELLA FONDAZIONE LOGICA DEI NUMERI NATURALI E DELLE CONOSCENZE MATEMATICHE IN GENERALE (2)


Gli invarianti funzionali dell’intelligenza e gli stadi dello sviluppo

 Piaget sottolinea la continuità tra i processi puramente biologici di morfogenesi e adattamento all’ambiente e l’intelligenza; il funzionamento intellettuale è un caso particolare dell’adattamento biologico: “l’organismo si adatta costruendo materialmente forme nuove per inserirle in quelle dell’universo, mentre l’intelligenza prolunga questa creazione costruendo mentalmente delle strutture che possano essere applicate a quelle dell’ambiente (5).
Ebbene: come le grandi funzioni della vita sono identiche in tutti gli esseri, anche se gli organi presi in considerazione sono diversi, così – secondo Piaget – dal fanciullo all’adulto vi sono funzioni del pensiero costanti, che si manifestano in strutture (o schemi) diverse.
Tali “invarianti funzionali” del pensiero durante tutto l’arco dell’età evolutiva rientrano nel quadro delle funzioni biologiche più generali e sono l’organizzazione e l’adattamento; l’adattamento si esplica a sua volta per mezzo dei meccanismi dell’assimilazione e dell’accomodamento.
“L’organizzazione – scrive Piaget – è inseparabile dall’adattamento … essi sono due processi complementari di un unico meccanismo, poiché la prima è l’aspetto interno del ciclo di cui l’adattamento costituisce l’aspetto esterno … <<L’accordo del pensiero con le cose>> e <<l’accordo del pensiero con se stesso>> esprimono questo doppio invariante dell’adattamento e dell’organizzazione. Ma questi due aspetti del pensiero sono indissociabili: soltanto adattandosi alle cose il pensiero organizza se stesso e soltanto organizzando se stesso il pensiero struttura le cose” (6).
L’aspetto esterno di questi due processi complementari, l’adattamento, è definito come un equilibrio dinamico tra assimilazione e accomodamento.
L’intelligenza è, infatti, assimilazione in quanto “incorpora nei propri quadri tutto il dato dell’esperienza” (7).
Ma l’assimilazione non può costituire l’aspetto unico dell’intelligenza, poiché questa nel suo funzionamento, nel tentativo volto ad incorporare nuovi elementi in schemi anteriori è costretta a modificare tali schemi per “accomodarli” ai dati nuovi.
“Inversamente, le cose – precisa Piaget – non sono mai conosciute in se stesse poiché questo lavoro di accomodamento non è mai possibile se non in funzione del processo inverso di assimilazione” (8).
Precisato in tal senso il rapporto tra intelligenza e adattamento biologico, occorre definire la posizione dell’intelligenza nei confronti dell’organizzazione mentale.
L’intelligenza non consiste in una categoria isolabile e discontinua di processi conoscitivi né del resto può essere concepita come una delle tante strutturazioni della vita mentale, bensì è precisamente la forma di equilibrio a cui tendono tutte le strutture che derivano la propria formazione dalla percezione, l’abitudine ed i meccanismi senso-motori elementari.
Una volta stabilita la continuità funzionale fra i vari tipi inferiori di adattamento conoscitivo o motorio e le forme superiori del pensiero, l’intelligenza è considerata esattamente come la forma di equilibrio verso cui tendono tutte le varie strutture.
E in realtà “la continuità funzionale non esclude per nulla la diversità e persino l’eterogeneità delle strutture. Ogni struttura dovrà essere concepita come una particolare forma di equilibrio che si mantiene più o meno stabile in un campo ristretto e diviene instabile ai suoi limiti.
Queste strutture, scaglionate su piani diversi, si succedono secondo una legge di evoluzione per cui ciascuna assicura un equilibrio più largo e più stabile ai processi che intervenivano già in seno alla precedente.
L’intelligenza, perciò, non è altro che un termine generico designante le forme superiori di organizzazione o di equilibrio delle strutture conoscitive” (9).
In quanto tende all’instaurazione di stati di equilibrio sempre più perfezionati, l’esito ultimo dello sviluppo mentale è – dunque – il raggiungimento della maturità organica e della sistemazione logica delle operazioni mentali della mente adulta.
Tale processo evolutivo viene descritto da Piaget alla luce del concetto di stadio, “una chiave per l’intero sistema dell’Autore” (10).
Nelle opere di Piaget si possono individuare cinque criteri per l’impiego di questo concetto nello studio dello sviluppo mentale: gerarchizzazione, integrazione, consolidamento, strutturazione, equilibrazione (11).
Il criterio della gerarchizzazione stabilisce semplicemente la necessità di un ordine fisso di successione dei diversi livelli che costituiscono una sequenza di sviluppo.
Il criterio della integrazione presuppone quello della gerarchizzazione e aggiunge una nuova esigenza secondo la quale le acquisizioni di un dato stadio integrano quelle del precedente stadio, invece di costituire una semplice sostituzione o giustapposizione: infatti “ognuno dei passaggi conducenti da un livello a quello seguente è … … caratterizzato da una nuova coordinazione e nel tempo stesso da una differenziazione dei sistemi che costituiscono l’unità del livello precedente” (12).
La terza caratteristica, il consolidamento, precisa che uno stadio comporta sempre nel medesimo tempo il compimento della condotta recentemente acquisita e un aspetto preparatorio per la condotta del livello successivo.
Il criterio della strutturazione indica che “le operazioni tipiche o le operazioni di un dato livello non sono semplicemente giustapposte l’una all’altra in maniera additiva, ma sono organicamente interconnesse con legami di implicazioni e di dipendenza reciproca che le uniscono e le raggruppano in strutture totali, le structures d’ensemble” (13).
Così, le diverse acquisizioni dello stadio operatorio, nonostante le affinità con i rapporti intuitivi corrispondenti al livello precedente, si presentano in una forma del tutto nuova appunto perché connesse in un complesso organico ad un più alto livello nella fase appunto operatoria.
L’ultima caratteristica, la equilibrazione, sta ad indicare che lo scambio continuo tra organismo ed ambiente dà luogo a stati successivi di equilibrio e che nel corso del processo evolutivo si instaura una successione di livelli di equilibrio sempre più perfezionati: questa caratteristica, del resto, si evince dal concetto stesso di intelligenza da noi enucleato.
Orbene, gli stadi (o fasi) di sviluppo successivi di equilibrio sempre più avanzati cui dà luogo il processo osmotico tra organismo ed ambiente sono: l’intelligenza sensorio-motrice, l’intelligenza intuitiva o pre-operatoria, lo stadio delle operazioni concrete e quello delle operazioni formali (14).

1 – L’intelligenza sensorio-motrice
Gli schemi senso-motori, totalità organizzate della intelligenza pre-simbolica, incorporano gli schemi percettivi e quelli dell’azione propria dell’abitudine, caratterizzati dall’irreversibilità e dalla mancanza di associatività.
“Una abitudine motrice è a senso unico; imparare ad effettuare gli stessi movimenti nel senso opposto equivale a formare una nuova abitudine. Una percezione è irreversibile giacché l’apparizione di un nuovo elemento obiettivo nel campo delle percezioni provoca uno spostamento di equilibrio ed anche se si ristabilisce obiettivamente la situazione primitiva gli stadi intermediari provocano nondimeno delle modificazioni nella percezione …
Sia la percezione che la motricità compiono solo itinerari unici poiché l’abitudine è stereotipata e perché nella percezione due itinerari distinti conducono a due diversi risultati” (15).
Non è detto che l’intelligenza sensorio-motrice non sia in grado di compiere delle deviazioni, anzi tale capacità si accentua via via che aumenta la mobilità e l’attività del pensiero, ma solo quando si costituisce un sistema di equilibrio permanente è garantita l’invarianza del risultato nonostante le deviazione e i percorsi diversi compiuti.
In questa fase dello sviluppo, che dura all’incirca sino ai diciotto mesi, i riflessi ereditati con la nascita vengono gradualmente modificati dall’esperienza divenendo parte di più complessi modelli di comportamento.
Il soggetto diventa consapevole del rapporto fine-mezzo nel manipolare gli oggetti; si rende conto che gli oggetti esistono anche quando egli non li percepisce e perviene a realizzare, nel caso privilegiato dello spazio, la struttura equilibrata del “gruppo degli spostamenti”, anche se in forma pratica ed empirica e limitatamente al piano ristretto dello spazio prossimo; infine diviene capace di rappresentarsi un’azione prima di eseguirla fisicamente.
Quest’ultimo momento segna il passaggio alla successiva fase di sviluppo, la fase preoperatoria, nella quale all’attività senso-motoria si accompagna l’attività mentale basata, appunto, sulla rappresentazione mentale degli oggetti e sulle anticipazioni mentali delle operazioni da compiere: “in una parola – scrive Piaget – la coordinazione delle azioni del soggetto, inseparabile dalle coordinazioni spazio-temporali e causali che egli attribuisce al reale, è contemporaneamente l’origine sia delle differenziazioni tra il soggetto e gli oggetti, sia della decentrazione sul piano degli atti materiali che renderà possibile, col concorso della funzione semiotica, l’avvento della rappresentazione e del pensiero” (16).

2 – Lo stadio dell’intelligenza pre-operatoria
Lo stadio dell’intelligenza pre-operatoria, che si prolunga sino ai sei-sette anni di età, è comunque caratterizzato ancora dall’assenza delle operazioni intellettuali così come le intende Piaget; il ragionamento è di tipo prelogico, regolato da un sistema di regole intuitive, senza strutture gerarchiche, senza conservazione di totalità e rigore nelle inferenze possibili: “al livello intuitivo … non vi sono vere e proprie classi e relazioni ma, rispettivamente, collezioni spaziali e rapporti spazio-temporali di carattere pre-operatorio” (17).
Il pensiero, in questa fase, è dominato dagli aspetti percettivi delle situazioni.
Nell’esaminare una situazione che coinvolge contemporaneamente fattori diversi, il fanciullo tende a fissare la sua attenzione su un fattore escludendo gli altri.
Esaminando un cambiamento da uno stato a un altro, egli fissa l’attenzione sulle condizioni iniziali e finali, mentre ignora l’azione che ha prodotto la trasformazione. Di conseguenza, non si rende conto che quando due cambiamenti avvengono simultaneamente, l’uno può compensare l’altro.
Se ad esempio ad una palla di argilla viene data la forma di salsiccia, la sua lunghezza aumenta, ma la larghezza diminuisce.
Il fanciullo in fase preoperatoria non si rende conto del fatto che il numero cardinale di un insieme resta immutato, anche se si cambia l’ordine degli elementi.
In definitiva: poiché il suo pensiero è dominato – come abbiamo già detto – dalla percezione del momento, egli tende a stabilire rapporti tra le cose con casuali accostamenti piuttosto che con l’esame di qualsiasi relazione di causa ed effetto o di implicazione logica.
Da ciò consegue – ed è importante sottolinearlo – una scarsa comprensione del rapporto fra parte e tutto, fra elemento e insieme, fra sottoinsieme e insieme, e questo perché “per mancanza di reversibilità e di strumenti elementari di quantificazione, non vi sono ancora conservazione di insiemi o di quantità di materia etc.” (18).

3 – Lo stadio delle operazioni concrete
La conquista della capacità di operazioni reversibili e di una maggiore mobilità del pensiero (che si esprime nell’associatività delle azioni) costituiscono le caratteristiche dello stadio operatorio (dai sette-otto agli undici-dodici anni per quanto concerne le operazioni concrete).
Ma che cosa è, propriamente, una “operazione”?
L’operazione non è altro che un’azione: un’azione reale ma interiorizzata, propria di quella particolare forma di attività che è il pensiero.
Un esempio paradigmatico del senso delle operazioni mentali ci può essere fornito proprio dalla matematica; osserva, infatti Piaget: “in una espressione qualsiasi, ad esempio (x al quadrato+y = z-u) ciascun termine non fa che designare un’azione: il segno (=) esprime la possibilità di una sostituzione, il segno (+) una riunione, il segno (-) una separazione, il quadrato di x l’azione di moltiplicare x volte x e ciascuno dei valori u, x, y, z, l’azione di riprodurre un certo numero di volte l’unità.
Ciascuno di questi simboli si riferisce dunque ad un’azione, che potrebbe essere reale, ma che il linguaggio matematico si limita a designare astrattamente, sotto forma di azione interiorizzata, cioè di un’operazione del pensiero” (19).
A ben guardare, dunque, la caratteristica essenziale del pensiero logico è dato dal fatto che esso è operatorio. Cioè che prolunga l’azione interiorizzandola.
Ma occorre reagire energicamente ad una interpretazione atomistica dell’operazione; questa, infatti, non può essere ridotta ad un’azione isolata, perché il carattere proprio delle operazioni nei riguardi delle azioni empiriche sta proprio nel fatto che esse non si presentano mai allo stato discontinuo: “in qualsiasi campo di quel pensiero che definiremo “costituito” – in opposizione appunto agli stadi di squilibrio che caratterizzano la sua genesi – la realtà psicologica è data da sistemi operatori d’insieme, non da operazioni isolate concepite come elementi superiori ai sistemi stessi.
Solo in quanto, e perché, si organizzano in tali sistemi, azioni o rappresentazioni assumono la natura di “operazioni” (20).
Piaget va, dunque, alla ricerca e all’analisi dei sistemi d’insieme della fase operatoria e delle loro leggi di equilibrio.
I sistemi d’insieme sono chiamati aggruppamenti: psicologicamente, l’aggruppamento rappresenta una certa forma di equilibrio delle operazioni, cioè delle azioni interiorizzate ed organizzate in strutture d’insieme.
Rispetto all’equilibrio parziale delle strutture percettive o motorie, l’equilibrio degli aggruppamenti è poi essenzialmente un equilibrio mobile: “le operazioni essendo delle azioni, l’equilibrio del pensiero operatorio non è dato da uno stato di riposo, ma da un sistema di scambi che si bilanciano e di trasformazioni continue compensantesi a vicenda” (21).

Le condizioni degli aggruppamenti operatori sono da Piaget esposte in formule logistiche; esse sono:
1) Composizione: x+x’= y; y+y’=z, ecc.
2) Reversibilità: y-x=x’ oppure y-x’=x
3) Associatività: (x+x’)+y’= x+ (x’+y’)=z
4) Operazione identica generale: x+0=x, x-x=0; y+0=y, y-y=0, ecc.
5) Tautologia o identica speciale: x+x=x; y+y=y, ecc. (22).

Come abbiamo già accennato, rivestono particolare importanza la reversibilità e l’associatività: le caratteristiche essenziale di un’operazione sta nel fatto che essa consiste in un’azione che può tornare al punto iniziale e che può essere integrata da altre azioni partecipi di questa caratteristica di reversibilità.
Dal punto di vista psicologico la reversibilità sta ad indicare la possibilità di tornare al punto di partenza di un ragionamento, sia per annullarlo, sia per rifarlo; sul piano logico il corrispettivo si esprime nel fatto che ad ogni sistema di operazioni si contrappone il sistema delle operazioni inverse.
L’associatività sta a designare – a sua volta – la conquistata mobilità nello sviluppo del pensiero il quale s’è ormai liberato dalla necessità dei passaggi obbligatori e può raggiungere gli stessi risultati percorrendo strade diverse.
L’esistenza psicologica di un aggruppamento è individuabile dalle operazioni esplicite di cui il soggetto è capace.
E – sottolinea Piaget – fino a quando non compare un aggruppamento non compare nel soggetto alcuna conservazione degli insiemi o di qualsiasi altra totalità: soltanto allorché il soggetto sarà capace di ragionamento operatorio a struttura d’aggruppamento egli sarà in grado di prevedere con sicurezza che- -ad es. – l’argilla resterà invariata, anche se cambia la forma ch’essa può assumente in seguito a manipolazione, ecc.

Piaget dà un prospetto dei principali sistemi di aggruppamento, che noi elencheremo schematicamente:
1) un primo sistema di aggruppamento è formato dalle operazioni logiche: classificazione o inclusione gerarchica delle classi; seriazione qualitativa; sostituzione; relazione simmetrica; moltiplicazione delle classi; moltiplicazione delle relazioni; aggruppamenti cui sono collegate classi e relazioni;
2) un secondo sistema è quello che Piaget chiama delle operazioni infralogiche che costituiscono l’oggetto: sono le operazioni costitutive dello spazio e del tempo;
3) le operazioni relative ai valori, che si esprimono nel rapporto mezzo-fine;
4) le operazioni della logica formale e le teorie ipotetico-deduttive della matematica: si ottengono quando i sistemi di operazioni da1 a 3 si traducono sotto forma di proposizioni (23).

Com’è chiaro, questo riassunto definisce soltanto la “struttura terminale” dell’intelligenza e non dà conto della loro formazione. Non è detto, infatti, che tutta la realtà si presti facilmente e nello stesso periodo alla strutturazione degli aggruppamenti.
Piaget pone proprio l’accento sul fatto che, nonostante nel periodo delle operazioni concrete si facciano i progressi da noi descritti, il pensiero tuttavia risente di due sostanziali restrizioni.
Innanzitutto le operazioni, a questo livello, hanno un insufficiente carattere formale: “le operazioni formali non sono ancora completamente dissociate dal dato concreto cui si applicano.
In altre parole, le operazioni si sviluppano separatamente in ciascun campo, e si risolvono in una progressiva strutturazione dei singoli scampi, senza che si arrivi ad una completa generalità”(24).
Così, la conservazione delle quantità, la seriazione, ecc., sono padroneggiate, nel caso dei pesi, solamente verso i 9-10 anni e non a 7-8, come avviene per altri contenuti più semplici; così, la conservazione del volume viene raggiunta verso gli 11-12 anni.
E in realtà Piaget divide in due livelli lo stadio delle operazioni concrete (lo stesso aveva fatto per lo stadio preoperatorio) e mostra come le stesse operazioni concrete si applicano con sfasamenti cronologici (décalage) a contenuti differenti (25).
L’altra sostanziale restrizione dei sistemi operativi a questo livello sta nella loro frammentarietà: in altri termini le operazioni di classificazione, ordinazione in serie, ecc., non si combinano in un’unica struttura d’insieme e “questo fatto impedisce anche che le operazioni concrete costituiscano una logica puramente formale. Dal punto di vista psicologico, questo significa che le operazioni non hanno ancora raggiunto un equilibrio completo; ciò accadrà solo nello stadio seguente (26).
Del resto, le operazioni della logica formale e le teorie ipotetico-deduttive della matematica cui abbiamo già accennato nell’elenco dei principali sistemi di aggruppamento caratterizzano l’ultimo stadio, quello delle operazioni formali.

4 – Lo stadio delle operazioni formali
“Con le strutture operative formali, che cominciano a costituirsi verso gli 11-12 anni, giungiamo alla tappa del processo che conduce le operazioni a liberarsi dalla durata, cioè di fatto dal contesto psicologico delle azioni del soggetto con quanto esse comportano di dimensione causale oltre alle loro proprietà implicatrici o logiche, per raggiungere finalmente quel carattere estemporaneo che è proprio dei rapporti logico-matematici puri” (27).
La logica dell’adolescente non ha più bisogno di riferirsi direttamente agli oggetti o alle rappresentazioni degli oggetti nei loro rapporti concreti, bensì può trarre conclusioni valide indipendentemente dall’osservazione sperimentale: è ormai una logica deduttiva. A questa caratteristica si lega subito un’altra: dal momento che le ipotesi sono proposizioni e non più oggetti, e dal momento che il contenuto di tali proposizioni consiste in altre proposizioni, si può affermare che le operazioni logiche sono operazioni alla seconda potenza. “è questo potere di formare operazioni su operazioni che permette alla conoscenza di superare il reale e che gli apre la via indefinita del possibile, attraverso una combinatoria, liberandosi dunque man mano dalle costruzioni alle quali restano soggette le operazioni concrete…
…Una delle novità essenziali delle operazioni formali consiste nell’arricchire gli insiemi iniziali elaborando “insiemi di parti” … che poggiano su una combinatoria” (28).
La combinatoria che si accompagna alla logica formale ne costituisce uno degli aspetti essenziali: classico è l’esperimento delle combinazioni di corpi chimici incolori e colorati (29).
Sono proprio le operazioni proposizionali che costituiscono questa struttura, come si andrà chiarendo nel corso della nostra esposizione: ed è questo l’aspetto fondamentale su cui dobbiamo soffermarci ed è un risultato dell’analisi evolutiva condotta da Piaget sulla logica dell’adolescente, analisi che lo aveva condotto a porre in evidenza il ruolo di una particolare struttura, prima ancora che i logici si interessassero ad essa.
La struttura fondamentale del pensiero operatorio è – come sappiamo – la reversibilità, cioè la capacità di tornare al punto di partenza.
La reversibilità si manifesta in due modi: l’inversione (o negazione), cioè l’annullamento dell’operazione effettuata, e la reciprocità (o compensazione) di una data operazione con un’altra eguale e contraria.
Sulla reversibilità per inversione si fondano le operazioni di classificazione: per costruire la classe A (ad esempio, quella degli animali vertebrati) è necessario che si costituisca la classe complementare A’ (gli animali non vertebrati) e quella includente B (gli animali vertebrati e invertebrati).
Allora, se B= A+A’ è vero anche che A = B – A’ e così via.
Sulla operazione di reversibilità per reciprocità sono invece basate le operazioni di seriazione. Per compiere un’operazione di seriazione asimmetrica, ad esempio per mettere in fila degli oggetti di diversa lunghezza in modo che il primo sia più lungo del secondo, il secondo del terzo, ecc. (A>B; B>C, ecc.) occorre che di volta in volta il soggetto consideri che la differenza tra A e B sia compensata da quella tra B e C, cioè collochi B tra A e C considerandolo più corto di A e contemporaneamente più lungo di C.
“Ma se l’inversione caratterizza raggruppamenti di classi e la reciprocità quelli di relazioni, non esiste al livello delle operazioni concrete un sistema d’insieme che unisce queste trasformazioni in un tutto unico” (30).
A livello del pensiero formale i due aspetti della reversibilità vengono uniti tra di loro, dando luogo al cosiddetto gruppo INRC cui noi accenneremo nel prossimo contributo.

…Nel prossimo contributo…

JEAN PIAGET E IL PROBLEMA DELLA FONDAZIONE LOGICA DEI NUMERI  NATURALI E DELLE CONOSCENZE MATEMATICHE IN GENERALE (3)

Strutture matematiche e strutture operatorie dell’intelligenza

 

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(1) PIAGET, J., La nascita dell’intelligenza nel fanciullo, Firenze, “Universitaria” ed., 1968, pag.11. Per una discussione sulla “biogenesi delle conoscenze”, in particolare sul ruolo del concetto di autoregolazione in biologia e psicologia, cfr. L’epistemologia genetica, Bari, Laterza ed., 1973, pagg. 59-74.

(2)   Ibidem, pag. 15.

(3)   Ibidem, pagg. 13-14.

(4)   Ibidem, pag. 14.

(5)   PIAGET, J. Psicologia dell’intelligenza, Firenze, “Universitaria” ed., 1962, pagg. 15-16.

(6) PINARD, A., LAURENDEAU, M., Lo “stadio” nella teoria dello sviluppo cognitivo di Piaget, in AA.VV., Jean Piaget e lo sviluppo cognitivo, a cura di D. ELKIND e J.H. FLAVELL, Roma, Armando ed., 1972, pag. 168.

(7) Cfr, ibidem, pagg. 165-211.

(8) PIAGET, J., Psicologia dell’intelligenza, op. cit., pag. 181.

(9) PINARD, A., LAURENDAU, M., Lo “stadio” nella teoria dello sviluppo cognitivo di Piaget, in AA.VV., Jean Piaget e lo sviluppo cognitivo, acura di D. ELKIND e J.H. FLAVELL, op. cit., pag. 181.

(10) PIAGET, J., Psicologia dell’intelligenza, op. cit., pagg. 106-185.

(11) Ibidem, pag. 56. Tralasciamo il problema dei rapporti tra Piaget e la Teoria della “Gestalt”.

(12) PIAGET, J., L’epistemologia genetica, op. cit., pag. 16.

(13) PIAGET, J., Psicologia dell’intelligenza, op. cit., pagg. 182.

(14) PIAGET, J., L’epistemologia genetica, op. cit., pag. 32.

(15) PIAGET, J., Psicologia dell’intelligenza, op. cit., pag. 46.

(16) Ibidem, pag. 50.

(17) Ibidem, pag. 55.

(18) Cfr. ibidem, pagg. 51-57.

(19) Cfr. ibidem, pagg. 57-63.

(20) PIAGET, J., Logica e psicologia, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1969, pag. 20;

cfr. ibidem, pagg. 13-26.

(21) PIAGET, J., L’epistemologia genetica, op. cit., pagg. 19-50.

(22) PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit., pag. 22.

(23) Ibidem, pag. 50.

(24) Ibidem, pag. 52.

(25) Cfr. PIAGET, J., INHELDER, B., Dalla logica del bambino alla logica dell’adolescente, in Dal bambino all’adolescente. La costruzione del pensiero, raccolta di scritti a cura di O.ANDREANI DENTICI e G. GORLA, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1972, pagg. 133-138.

(26) PIAGET, J., L’epistemologia genetica, op. cit., pag. 53.

Citazione:

Le coordinate fondamentali dell’insegnamento della matematica nella scuola primaria

JEAN PIAGET E IL PROBLEMA DELLA FONDAZIONE LOGICA DEI NUMERI NATURALI E DELLE CONOSCENZE MATEMATICHE IN GENERALE (1)

http://youtu.be/7VDNQ7Wvf3k

Autore

Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull’insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.

Docente di Scuola   Primaria (1970-1979) e Dirigente Scolastico (1979-2007), ha collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

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