JEAN PIAGET (4)

 

copyright © Educare.it – Anno XIV, N. 2 – Febbraio 2014

La genesi dei concetti matematici secondo Piaget 

La genesi del numero

Il concetto di spazio

La misurazione di grandezze spaziali

Dopo aver affrontato i problemi della natura dell’intelligenza, delle fasi dello sviluppo, del rapporto tra strutture operatorie dell’intelligenza e strutture matematiche, dobbiamo ora soffermarci ad analizzare l’evoluzione delle nozioni di numero, misura, spazio.

L’esame delle opere di Piaget conduce ad individuare una notevole analogia nel processo di acquisizione della conservazione degli insiemi numerici, delle lunghezze e delle distanze, delle superfici, dei volumi.

In particolare, la genesi del numero ci aiuterà a comprendere la natura dei rapporti tra logica e matematica, naturalmente nella prospettiva genetico-cognitiva di Piaget.

La genesi del numero

Abbiamo avuto occasione di affrontare in altra sede l’argomento del rapporto logica e matematica (1).

           Sappiamo che, nell’ambito dell’orientamento mirante alla fondazione logica della matematica, Russel tende a ricondurre il problema della quantificazione della serie dei numeri naturali alla concezione cardinale, ossia alle nozioni di classe e di corrispondenza biunivoca fra gli elementi delle classi.

Si può, infatti, definire il numero cardinale di una classe “A” come quella caratteristica che hanno in comune tutte e solo le classi i cui elementi si possono porre in corrispondenza biunivoca con gli elementi di “A” e, poi, definire in generale il numero cardinale come la caratteristica che hanno in comune fra di loro tutte e solo le classi aventi uguale potenza: il numero cardinale è appunto la classe delle classi equipotentialla classe del numero cardinale preso in considerazione.

Così: “si dice ‘zero’ il cardinale degli insiemi vuoti; si dice ‘uno’ il cardinale degli insiemi costituiti di un singolo elemento; si dice ‘due’ il cardinale delle coppie; si dice ‘tre’ il cardinale delle terne, ecc.” (2).

A sua volta Peano, nel fondare tutta la matematica sull’aritmetica, tende a ricondurre il medesimo problema della serie dei numeri naturali alla concezione ordinale.

Il logico-matematico italiano aveva conseguito il suo programma di sistemazione rigorosa dell’aritmetica, ossia dell’assiomatizzazione della teoria dei numeri naturali, fondandola sui tre concetti primitivi di zero, numero, successivo e su cinque postulati:

  1. zero è un numero;

  2. il successivo di ogni numero è un numero;

  3. non esistono due numeri con lo stesso successivo;

  4. zero non è il successivo di alcun numero;

  5. ogni proprietà di cui gode lo zero, e anche il successivo di ciascun numero che gode di quelle proprietà, appartiene a tutti i numeri (3).

La teoria di Peano colloca i numeri naturali in una relazione ordinale, ossia – a voler adoperare il linguaggio della logica simbolica – in una relazione transitiva asimmetrica: posto che tra ogni coppia non identica di numeri naturali vi sia una relazione ‘R’, e posto che tale relazione sia ordinale (a<b, b<c, a<b<c, ecc.), allora la serie completa dei numeri naturali si può ottenere per mezzo del 5° postulato, o legge dell’induzione matematica, un passo dopo l’altro.

Nella prima e nella seconda impostazione si ha che la nozione di numero naturale viene ricondotta ad una nozione logica: classe di classe (Russel), relazione transitiva asimmetrica (Peano).

Ad entrambe le posizioni delineate si contrappone quella degli intuizionisti, secondo i quali i numeri naturali devono essere accettati senza ulteriore analisi come il fondamento della matematica.

Così, Poincaré aveva sostenuto la tesi che il concetto di numero naturale sarebbe il risultato di un’intuizione razionale pura più profonda della logica, il che equivale ad ammettere che dal punto di vista della formazione psicologica il concetto di numero è anteriore alla logica stessa (4).

I lavori di Piaget per un verso portano a negare l’ipotesi di un’intuizione pura anteriore alla logica del numero, e per l’altro portano ad una sintesi dei punti di vista di Russel e di Peano.

In altri termini, e lo vedremo tra breve, Piaget è d’accordo con Russel sul fatto che è necessaria una organizzazione logica precedente perché il ragazzo acquisisca il numero, ma chiarisce che il numero comporta una sintesi originale tra le operazioni logiche.

Bisogna innanzitutto sottolineare che nei riguardi della tesi degli intuizionisti si possono sollevare due ordini di obiezioni, che si evincono chiaramente dall’opera “La genesi del concetto di numero nel bambino” (5).

La prima difficoltà contro cui urta l’ipotesi di una genesi del numero anteriore alla logica sta esattamente nel fatto che non si ha la comprensione reale del numero nel periodo preoperatorio, ossia nel periodo in cui non vi è ancora logica non essendosi costituite le “structures d’ensembles” del sistema delle operazioni concrete.

Nel periodo preoperatorio il soggetto è chiaramente condizionato dai fattori percettivi nella considerazione delle totalità e la ragione essenziale dei condizionamenti percettivi consiste nel fatto che al soggetto mancano le condizioni (logiche) che rendano possibile la conservazione degli invarianti elementari.

La mancanza della conservazione delle quantità e della invariabilità dei complessi, ciò che comporta una evidente incomprensione dell’insieme numerico, è l’obiezione principale che si può muovere alla tesi di una intuizione pura del numero anteriore alla logica.

Piaget sottolinea il ruolo che gioca l’acquisizione di un sistema, esplicito od implicito, di principi di conservazione nella strutturazione di qualsiasi tipo di cognizione, sia esso a livello scientifico o a livello del senso comune.

Che si tratti – scrive Piaget – di quantità continue o discontinue, degli aspetti quantitativi percepiti nell’universo sensibile o dei complessi e dei numeri concepiti dal pensiero, che si tratti dei contatti più primitivi dell’attività aritmetica con l’esperienza o delle assiomatizzazioni più accuratamente depurate di qualsiasi contenuto intuitivo, ovunque e sempre la conservazione di qualche cosa è postulata dall’intelletto a titolo di condizione necessaria per ogni e qualsiasi comprensione matematica” (6).

Dal punto di vista psicologico, dunque, “la conservazione costituisce una condizione necessaria per qualsiasi attività razionale … una specie di a priori funzionale del pensiero” (7).

Orbene: l’analisi delle risposte dei soggetti esaminati porta Piaget a sottolineare che la scoperta della conservazione non è dovuta ad una deduzione a priori ed analitica, ma presuppone le operazioni logiche di moltiplicazione delle relazioni, di partizione, di proporzionalità (= combinazione dell’uguaglianza con la relazione asimmetrica).

In altri termini, per Piaget non è la scoperta della conservazione che induce alla possibilità di moltiplicare le relazioni, ecc., bensì è la coordinazione dei rapporti sotto il duplice aspetto di moltiplicazione logica delle relazioni e di composizione matematica delle parti e delle proporzioni che conduce all’affermazione della conservazione (8).

Naturalmente – e dovrebbe essere chiaro dopo quanto s’è detto a proposito dello stadio del pensiero operatorio – le operazioni di cui sopra si costituiscono in funzione delle operazioni inverse di cui il fanciullo acquista la padronanza, cioè in funzione della acquisita reversibilità del pensiero.

Premesso che Piaget nella terza sezione de “La genesi del numero nel bambino” (9) chiarisce che classe, relazione asimmetrica e numero sono le tre manifestazioni complementari della stessa costruzione operante applicata sia alle equivalenze, sia alle differenze, sia alle equivalenze e differenze riunite e che quindi l’evoluzione nella comprensione delle classi, relazioni e numeri è questione di scambievoli rapporti, possiamo giungere ad intendere in che senso la posizione di Piaget costituisce la sintesi dei punti di vista di Russel e Peano.

Posto che il soggetto, nella costruzione di una classe, poniamo la classe delle bambole di diversa grandezza offerta alla percezione, fa astrazione dalle differenze e ritiene soltanto le loro qualità comuni, considera cioè l’equivalenza degli elementi; posto che, invece, nell’elaborazione di relazioni asimmetriche, il soggetto fa astrazione dalle equivalenze per porre attenzione sulle differenze (di grandezza, nel caso dell’esempio delle bambole); posto che, quindi, le classi generano totalità gerarchiche (la bambola A e la bambola B danno la classe delle bambole C) e le relazioni asimmetriche transitive generano seriazioni (A>B, B>C, dunque A>C; e, viceversa B<A, B<C, dunque C<A); ebbene: la serie dei numeri naturali risulta dalla sintesi della cardinazione (classe, inclusione gerarchica di classi) e della ordinazione (relazione asimmetrica transitiva, seriazione).

Un numero qualsiasi, ad esempio 4, consegue dal raggruppare 4 oggetti per formare una classe; dall’includere 4 in 5; dal collocare 4 tra 3 e 5, cioè dal mettere in relazione 4 con 3 e 5, dal comprendere che se 4<5, allora 5>4; e che se 3<4 e 4<5, allora 3<5.

I numeri finiti sono dunque necessariamente cardinali e ordinali ad un tempo, per la natura stessa del numero, che consiste in un sistema di classi e di relazioni asimmetriche fuse in un medesimo tutto operante.

I cardinali risultano da una astrazione della relazione e questa astrazione non modifica la natura delle loro operazioni, poiché qualsiasi ordine attribuito a “n” termini dà la stessa somma cardinale “n”.

Gli ordinali, dal canto loro, risultano da un’astrazione della classe, astrazione ugualmente legittima, per la stessa ragione che l’n° termine finito corrisponderà sempre ad un complesso cardinale “n”, ma questa duplice astrazione non modifica in alcun modo la proprietà del numero intero di conservare la sua unicità e di implicare l’indissociabile solidarietà delle totalità e dell’ordine” (10).

Il numero, insomma, “non è né classe totalizzante soltanto, né soltanto relazione seriante, ma contemporaneamente classe gerarchica e serie” (11).

Il concetto di spazio

L’analisi dell’evoluzione del concetto di spazio nel bambino porta Piaget ed Inhelder ad operare una chiara distinzione tra spazio percettivo e spazio rappresentativo.

Molto presto, durante il primo anno di vita, il bambino riesce a discriminare visivamente un quadrato da un cerchio; ma l’apprendimento percettivo non implica la capacità di rappresentarsi mentalmente queste figure. Il soggetto non ha, cioè, un chiaro concetto delle figure geometriche ed è soltanto con la maturazione e l’esperienza che può riuscire ad acquisire tali concetti e a comunicare agli altri ciò che comprende per mezzo di simboli (disegno, ecc.): “autre chose est de percevoir une droite, autre chose est de se la représenter, c’est-à-dire de la contruire ou de la reconstruire” (12).

Lo sviluppo dello spazio rappresentativo implica – secondo le vedute di Piaget e Inhelder – l’attività che il soggetto compie nel corso degli anni; insomma, i concetti spaziali risultano esattamente da azioni interiorizzate: “la reconstruction des formes ne consiste pas simplement à isoler des qualités perspectives, ni a fortiori à tirer sans plus ces formes de l’objet, mais qu’elle repose sur une mise en relation active, et implique, par consequént, une abstraction à partir des actions mêmes du sujet, et de leur coordinations progressives” (13).

Come abbiamo già accennato, secondo Piaget il bambino parte da intuizioni topologiche fondamentali e si orienta poi simultaneamente nella direzione delle strutture proiettive e delle strutture metriche (14).

Gli ingegnosi esperimenti condotti mostrano che le prime relazioni spaziali che il bambini è in grado di rappresentarsi sono: prossimità o vicinanza; separazione; ordine o successione spaziale; contorno, continuità di linee e superfici.

Quelle suaccennate sono proprio caratteristiche che restano invariate quando un corpo venga piegato o stirato, mentre direzione e misura non rimangono costanti quando una figura è sottoposta a drastiche sollecitazioni.

Tralasciando le descrizioni degli esperimenti, diciamo che i risultati delle ricerche spingono Piaget ed Inhelder ad affermare appunto che “avant toute organisation projective et même euclidienne de l’espace, l’enfant commence par costruire et utilizer … notions que les géomètres appellent topologiques” (15).

A partire all’incirca dall’età di sei anni, i concetti topologici danno luogo lentamente a concetti proiettivi ed euclidei.

Secondo Piaget ed Inhelder, lo spazio proiettivo ha inizio allorché un elemento non è più pensato isolatamente ma comincia ad essere considerato in relazione ad un punto di vista; inoltre la coordinazione dei punti di vista suppone il carattere operatorio dell’intelligenza: “d’une manière générale la découverte de la perspective est due à un début de différenciation et de coordination réunies des points de vue, c’est-à-dire à une sorte de détachement à l’égard de l’objet consideré en lui-même, et à une prise de conscience du rapport qui relie au point de vue du sujet (16); … or, la perception est essentiallement inapte à remplir cette tâche, puisque prendre conscience du point de vue propre, c’est, en fait, s’en libérer, et un système d’opération propriement dites, c’est-à-dire composables entre elle set réversibles, est indispensable à cet effet” (17).

Per mezzo di interessantissimi esperimenti, quali quelli della costruzione della retta, quelli implicanti altri problemi di prospettiva semplice, ombre, punti di vista, sezioni di solidi, ecc., Piaget ed Inhelder rilevano che relazioni come sinistra-destra, davanti-dietro vengono coordinati tra i sette e gli undici anni: è per mezzo di tali coordinazioni che il ragazzo diviene capace di compiere le operazioni che gli permettono di prevedere la visione degli oggetti da un punto di vista diversi dal proprio.

Costruzioni proiettive e costruzioni euclidee sono interdipendenti; così, a proposito della costruzione della retta, gli Autori sottolineano che “les faits…ont montré que, sitôt dépassé le niveau de la droite perspective … les constructions projectives et euclidiennes apparaissent simultanément et s’appuient les unes sur les autres” (18).

Per quanto riguarda lo spazio euclideo, al di sotto di sei anni il ragazzo è incapace di eseguire compiti come disegnare figure simili a figure date, prevedere la linea del livello dell’acqua contenuta in una bottiglia quando quest’ultima viene inclinata, mostrare il grado di sviluppo raggiunto nell’abilità di collocare oggetti su un modello di paesaggio, avendo da tener conto sia della distanza sia della direzione; solo verso i nove anni d’età i concetti fondamentali di orizzontalità e verticalità vengono compresi senza procedere per prove ed errori.

I risultati estremamente interessanti delle ricerche di Piaget e Inhelder sono evidentissimi e gli stessi Autori ne esplicitano il dato progressivo sul piano dell’insegnamento nella premessa a la “Représentation ecc.”: “on a dit que la théorie des ensembles de Cantor devrait s’einsegner à l’ecole primaire.

Nous ne serions pas éloignés d’en penser autant des éléments de la topologie…” (19).

Già parecchi decenni fa, insomma, Piaget e Collaboratori sostenevano che, a parte il ruolo prioritario che anche nell’insegnamento della geometria deve essere assegnato alla esperienza concreta, all’attività, all’azione del soggetto, l’insegnamento della geometria deve includere a livello della scuola primaria elementi di topologia e di geometria proiettiva accanto a quella metrica.

La misurazione di grandezze spaziali

Piaget e i suoi Collaboratori hanno condotto esperimenti in cui interveniva ora la misurazione spontanea, ora la misurazione più direttamente sollecitata nei bambini dall’intervento dell’adulto.

Riportiamo a titolo esemplificativo una situazione creata dagli Sperimentatori per valutare la misurazione spontanea di grandezze lineari.

Al bambino si mostra una torre, composta di un certo numero di pezzi, posta su di un tavolo e gli si chiede di costruirne un’altra uguale, posta su un tavolo di altezza differente e con pezzi non perfettamente uguali ai primi, per impedire che il ragazzo copi semplicemente il modello. Talvolta si frappone fra i due tavoli uno schermo, che il bambino potrebbe anche togliere e gli si mette a disposizione una varietà di materiale (carta, pezzi di legno, bastoni, spaghi) e lo si invita ad adoperarli per la misurazione.

Descriviamo, al riguardo, gli stadi analizzati dagli Sperimentatori.

Sino a quattro anni e mezzo circa il bambino non tiene per nulla in conto le differenze di altezza dei tavoli e si aiuta soltanto con un confronto visivo, senza avvertire l’esigenza di adoperare il materiale che pure può usare liberamente.

In una seconda fase, che in media va sino ai sette anni, il bambino comincia a tenere conto del dislivello: pone allora un bastone tra le cime delle torri per assicurarsi che siano allo stesso livello e si accorge, inoltre, che le basi delle torri non sono alla stessa altezza.

Ha, così, l’idea di trasportare la propria torre sul tavolo del modello: ma questa operazione non è consentita.

Allora il bambino comincia ad adoperare il proprio corpo come strumento di misura: si serve del braccio, dell’apertura delle braccia che cerca di riportare dal modello alla copia, oppure dell’altezza della spalla, ma si rende conto dell’inattendibilità della misurazione.

Piaget sottolinea la positività di tali tentativi: “la misura come il numero, presuppone delle operazioni logiche. Se volete confrontare A alla copia B, è necessaria una comune misura C, che si renderà uguale ad A e poi a B; e ciò comporterà di uguagliare A e B.

Abbiamo qui un vero ragionamento: è necessario utilizzare un intermediario tra i due. Ciò vuol dire stabilire la transitività delle relazioni logiche nella misura. Ci vogliono operazioni logiche preliminari come abbiamo visto per il numero” (20).

Ed infatti, dai sette anni in su, si constata una crescente tendenza ad utilizzare alcuni oggetti come modelli per la misurazione. Può trattarsi di una terza torre che viene costruita sul tavolo del modello e poi trasportato sull’altro tavolo per costruire la torre-copia. Ma in seguito lo strumento di misura diviene senz’altro un altro oggetto qualsiasi.

Dapprima il bambino sceglierà un bastone esattamente uguale alla torre-modello; poi si accontenterà di un bastone più lungo su cui si può fare un segno, e scarterà i bastoni più piccoli. Infine giunge a servirsi di un bastone corto, che riporterà un certo numero di volte per la misurazione.

A questo punto il concetto di misura è chiaro: il bambino ha compreso che l’intero è composto da diverse parti congiunte, cioè che l’intero è divisibile; inoltre, ha compreso che deve riportare un certo numero di volte la unità di misura, ossia possiede la nozione di iterazione dell’unità di misura: “come (si vede) c’è parallelismo tra il numero e la misura; il numero interviene implicitamente, ma vi è più di una parentela implicita.

Vi sono esattamente le stesse operazioni, ma tradotte in linguaggio spaziale: la divisione degli elementi corrisponde all’inserimento delle classi l’una nell’altra e il riporto dell’unità corrisponde alla disposizione in serie, le due operazioni essendo fuse in una sola, proprio come avviene nella genesi del numero” (21).

In generale, ed è opportuno ribadire questo concetto, i principi di conservazione delle lunghezze e delle distanze implicano l’acquisizione da parte del soggetto delle nozioni di suddivisione dell’intero da misurare e di iterazione dell’unità di misura, e la loro sintesi.

Esattamente analogo è il discorso da farsi a proposito della conservazione delle superfici.

Sappiamo ormai che le prime relazioni accessibili mal bambino sul terreno dello spazio sono relazioni topologiche e non metriche: il che equivale a dire che per lo spazio non vi è all’inizio alcuna conservazione perché il ragazzo è sensibile a rapporti implicanti posizioni, nozioni d’ordine, ecc., e non certo a rapporti euclidei.

Il problema della conservazione delle superfici è stato studiato in particolare partendo dall’assioma di Euclide: “se si tolgono parti uguali a quantità uguali si ottengono quantità uguali”

Anche in questo caso si trova “un’analogia sempre maggiore analizzando lo sviluppo della misura, della “quantificazione” dello spazio, e lo sviluppo del numero. Nei due casi si osserva al principio il qualitativo puro, poi vi è la sintesi delle operazioni di inserimento e di ordine o sotto forma di numero o sotto forma di misura” (22).

E la conservazione e misurazione dei volumi?

L’indagine piagetiana mostra con evidenza che negli esperimenti di valutazione della equivalenza tra due volumi il soggetto passa da uno stadio (4-7 anni) in cui è assolutamente dominato dai dati percettivi della situazione, mostrando così l’assoluta incapacità dell’operazione di moltiplicazione logica delle dimensioni, ad una seconda fase (7-8 anni e mezzo) in cui comincia a tener conto delle variazioni delle dimensioni, ma senza giustificazione delle stesse, ad una terza fase in cui alla moltiplicazione logica delle dimensioni si accompagna una quantificazione metrica del volume: per questo il soggetto utilizzerà inizialmente il cubo-unità e solo dagli undici anni in poi farà ricorso al procedimento di calcolo moltiplicando le lunghezze degli spigoli.

In definitiva, possiamo concludere che anche l’analisi dell’evoluzione della conservazione e misurazione del volume, a parte lo sfasamento di età cui abbiamo accennato, ripropone le fasi già esaminate a proposito della genesi del numero.

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  1. Cfr., al riguardo: Conese, A., La matematica non è invariabile, in “i diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 10, Anno XCII, 15-1-1992; Conese, A., Caratteri della matematica moderna, in “i diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 12, Anno XCII, 15-2-1992; Conese, A., Struttura di gruppo, in “i diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 17, Anno XCII, 1-5-1992;

  2. LECCESE, G., Elementi della teoria ingenua degli insiemi, Firenze, Sansoni ed., 1973, pag. 58.

  3. Cfr. ibidem, pagg. 96-97.

  4. Cfr. LOVELL, K., La formazione matematica, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1970, pagg. 19-27 e BRAINERD, C. J., Le origini del concetto di numero, in “Le Scienze”, giugno 1973, n. 58, pagg. 84-93.

  5. Cfr. PIAGET, J., SZEMINSKA, A., La genesi del numero nel bambino, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1968; cfr. anche PIAGET, J., BOSCHER, B., CHATELET, A., Avviamento al calcolo, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1970, pagg. 3-6 e segg.

  6. PIAGET, J., SZEMINSKA, A., La genesi del numero nel bambino, op. cit., pag. 4.

  7. Ivi.

  8. Cfr. ibidem, pagg. 3-56.

  9. Cfr. pagg. 247-386.

  10. Ibidem, pag. 243.

  11. Ibidem, pag. 242.

  12. PIAGET, J., INHELDER, B., La représentation de l’espace chez l’enfant, Paris, “Presses Universitaires de France”, 1972, pag. 181.

  13. Ibidem, pagg. 97-98.

Un’accurata descrizione delle esperienze condotte da Piaget e Inhelder si trova nel saggio documentato di PETTER, G., Lo sviluppo mentale nelle ricerche di Jean Piaget, Firenze, Giunti-Barbera edd., 1961, pag. 91-128. A Guido Petter va riconosciuto il grande merito di aver contribuito in maniera decisiva a diffondere in Italia gli studi di Jean Piaget.

  1. PIAGET, J., INHELDER, B., La répresentation de l’espace chez l’enfant, op. cit., pag. 9.

Va qui segnalato che gli esperimenti e i risultati degli esperimenti di Piaget a proposito di questo aspetto della discussione sono posti seriamente in discussione. Cfr., al riguardo, LOVELL, K., La formazione matematica, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1970, pagg. 114-119.

  1. PIAGET, J., INHELDER, B., La répresentation de l’espace chez l’enfant, op. cit., pag. 219.

  2. Ibidem, pag. 225.

  3. Ibidem, pag. 196.

  4. Ibidem, pag. 6.

  5. PIAGET, J., BOSCHER, B., CHATELET, A., Avviamento al calcolo, op. cit., pag 22.

  6. Ibidem, pag. 24.

  7. Ibidem, pag. 30.

  8. PETTER, G., Lo sviluppo mentale nelle ricerche di Jean Piaget, op. cit., pagg. 165-169.

Autore

Antonio  Conese  è  laureato  in  Pedagogia  (Università  degli  Studi  di  Bari)  con una tesi sull’insegnamento   della  matematica  nella  scuola  primaria;  ha  frequentato  il  Corso di Perfezionamento   post-laurea   (Università   degli  Studi  di  Firenze)  su   “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.

Docente   di   Scuola   Primaria    (1970-1979)   e   Dirigente  Scolastico   (1979-2007),   ha  collaborato  con  la  Rivista  “i diritti della scuola”  ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi   di   formazione   per   l’insegnamento   della  matematica  e  delle  scienze  promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

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