CARATTERI DELLA MATEMATICA MODERNA

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

 copyright © “i diritti della scuola”,  Anno XCII – 15.2.92, Milano, Edizioni Scuola Vita, pagg. 17-18.

Caratteri della matematica moderna

Antonio Conese

L’esigenza di rigore che si affermò tra i matematici nel 1800 portò all’approfondi­mento del metodo assiomatico e ad una diversa accezione del concetto di assioma.
Queste nuove acquisizioni costrinsero, per così dire, i matematici ad ammettere che gli oggetti ‘classici’ (numeri, grandez­ze, figure) non potevano più considerarsi i soli oggetti legittimi di studio: «il fatto è che – proprio a causa delle molteplici ‘in­terpretazioni’ o ‘modelli’ possibili – ci si accorge che la natura degli enti matemati­ci è, in fondo, secondaria… L’essenza della matematica… appare come lo studio delle relazioni fra oggetti conosciuti e descritti (di proposito) solo mediante alcune delle loro proprietà, precisamente quelle poste come assiomi alla base della teoria» (1).
L’intuizione secondo la quale le differen­ze fra i vari campi della matematica ven­gono scavalcate dal fatto che questi ultimi ritrovano la loro unità nello studio dei rapporti o proporzioni fra gli oggetti di studio dei vari campi, apparteneva già a Cartesio.
Questa concezione si va precisando me­glio con Leibniz, il quale, specificando le posizioni di Cartesio, intravede per la pri­ma volta la nozione generale di ‘isomorfi­smo’ e la possibilità di identificare delle re­lazioni isomorfe.
Attraverso le anticipazioni di Gauss e Galois il discorso si fa più chiaro; contri­buti decisivi sono quelli, tra gli altri di Boole, Cantor e Hilbert (2).
Per quanto – dunque – la ‘struttura di gruppo’ è già anticipata nella prima metà del secolo XIX da Galois, la nozione mo­derna di ‘struttura’ si chiarirà intorno al primo trentennio del nostro secolo.
Il dato oggettivo che risulta a chi si accosta per la prima volta ex-novo ai notevoli progressi compiuti in matematica è proprio l’accento posto sulla nozione di struttura della legge di composizione ed il suo potente valore di sintesi. Sia che si la­vori su insiemi finiti o su insiemi infiniti, sia che si lavori su numeri o rotazioni, su proposizioni, su circuiti elettrici, su trasformazioni geometriche, se si esegue un’addizione o qualsiasi altra operazione, tutto questo conta relativamente: si scopre che in campi diversi della scienza emergono leggi e proprietà comuni che uniscono con la loro struttura argomenti così lontani. Ed è chiaro che è stato lo spostamento operato con l’ampliamento del campo di studi dai numeri naturali ai numeri relativi ecc. a spingere il matematico ad interessarsi non più tanto numeri e così via, quanto piuttosto di operazioni sugli enti e di pro­prietà di queste operazioni: operazione intesa dunque ormai nel senso di ‘legge di composizione’. Ed è la struttura della leg­ge di composizione – sottolinea Emma Castelnuovo – «che unifica e che distin­gue i vari campi della matematica» (3).
È possibile, a questo punto, estrapolare i dati sin qui emersi.
A noi sembra di poter enucleare gli ele­menti caratterizzanti la cosiddetta «mate­matica moderna» secondo le consapevo­lezze appresso specificate:
a) costruzione assiomatica della matema­tica;
b) reinserimento della matematica nella logica;
c) ruolo centrale della nozione di struttura.
Si è ampiamente insistito circa la neces­sità di un improrogabile recupero della matematica cosiddetta «nuova»: è chiaro che non è più possibile continuare ad insegnare una matematica vecchia di qua­ranta secoli, soprattutto, poi, quando si consideri che l’ultimo (quello trascurato) è da solo immensamente più denso e vitale di tutti i precedenti. A questo punto, non fosse altro che per quel legame sempre reclamato tra scuola e società, tra scuola e vita, la matematica non può restare patri­monio esclusivo di addetti al lavoro; e aveva ragione il Revuz ad affermare con for­za che «non bisogna permettere né di essere messi in una torre di avorio, né in un ghetto matematico» (4).
È necessario che ci si convinca che la matematica occupa un posto notevole nella cultura del XX secolo.
In un momento di intensi approcci in­terdisciplinari, negare che esiste una forte tendenza alla ‘matematizzazione’ di ogni campo di ricerca significa negare dogma­ticamente i mutamenti avvenuti nel cam­po della sociologia della conoscenza. Sen­za contare che la mancanza di una seria preparazione matematica può tradursi in un sostanziale isolamento, può significare cioè una drammatica impossibilità di una reale produzione scientifica.
Inoltre, il calore con cui si insiste da varie parti sul rinnovamento dell’insegnamento della matematica sarebbe solo in parte giustificato se tutto si esaurisse nella pretesa di una mera trasmissione di un pa­trimonio di conoscenze già formulato. La realtà è un’altra: non si tratta di insegnare una scienza già tutta costruita, bensì di far acquisire un modo di pensare.

Note
(1) Bourbaki N., Elementi di storia nella matematica op. cit., pagg. 32-33;
(2) Per tutta la discussione, cfr. ibidem, pagg. 29-37, pagg. 65-74;
(3) Castelnuovo E., La via della matematica. La geo­metria, Firenze, «La Nuova Italia» ed., 1970, pag. 238;
(4) Revuz A., Matematica moderna, matematica viva, op. cit., pag. 90.

Autore
Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull’insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.
Docente di Scuola Primaria (1970-1979) e Dirigente Scolastico (1979-2007), ha collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

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