STRUTTURA DI GRUPPO

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

 copyright © “i diritti della scuola”,  Anno XCII – 1.5.92, Milano, Edizioni Scuola Vita, pagg. 24-27.

Struttura di gruppo

Antonio Conese

Nelle precedenti puntate (v. n. 10 pag. 18; n. 12 pag. 17) ci siamo soffermati un po’ sugli aspetti della matematica «mo­derna».
Diciamo subito che, evidentemente non è lontanamente ipotizzabile una presen­tazione assiomatica della matematica nella scuola primaria.
Com’è chiaro, tale discussione, per essere condotta in maniera corretta presup­pone l’analisi delle vedute degli psicologi circa la natura del pensiero durante l’età evolutiva: certamente, i ragazzi che fre­quentano le scuole elementari non sono pronti al ragionamento ipotetico neces­sario per dedurre teoremi da assiomi.
E ben noto, del resto, che anche i matematici impegnati nel progetto di svec­chiamento dei programmi hanno espresso la ferma convinzione che i ragazzi non sono in grado di affrontare un approccio deduttivo alla materia (1).
Essi stessi sottolineano che la scoperta matematica non è deduttiva e che anche «se potessimo fare a meno della intuizio­ne nell’atto creativo matematico, sarebbe assurdo cercare di farne a meno nell’inse­gnamento» (2).
Tutto questo, a ben guardare, mostra come il rinnovamento nell’insegnamento della matematica è questione non solo di contenuto, ma anche di metodo e che quest’ultimo problema ha da essere visto, tra l’altro, alla luce del dibattito sulla creatività, come si evince da una attenta lettura del testo dei «Nuovi Programmi».
Decisamente positivo e valido per ricche sollecitazioni didattiche è risultato l’approccio logico (o, meglio, logico-linguistico).
È proprio questo carattere della mate­matica che, come è stato detto, ha portato a porre l’accento sul suo «valore for­mativo molto esteso e profondo che trascende nettamente i risultati utilitaristici» (3) cui era legata la visione tradizionale del «far di conto».
L’educazione deve mirare a stimolare i nessi logici presenti nella mente di ogni bambino che non aspettano altro che di entrare in azione.
È questa l’ipotesi da cui muoveva già qualche decennio fa Marguerite Robert, direttrice dell’Ecole Normale des Institu­tries di Chambéry (4).
In passato si era portati a dimenticare, nei tentativi di rinnovamento, questa im­portante valenza formativa della materia.
Molto spesso ci si limitava a introdurre l’insiemistica, per giunta sotto il profilo di una variazione terminologica del vec­chio contenuto d’insegnamento. Il che mostrava scopertamente due errori: pri­mo, che si tendeva a limitare la matema­tica moderna alla sola insiemistica; secondo, che si tendeva a sottovalutare la portata del collegamento delle strutture logiche con le strutture insiemistiche. Il risultato è che, in questa maniera, si ve­niva meno allo spirito della matematica moderna, ossia alla concezione struttu­ralistica che è il terzo aspetto di cui ab­biamo discusso. Basta, del resto, un esa­me dei sussidiari per le scuole primarie in circolazione in Italia — anche di quelli che si presentano con forti esigenze di adeguamento didattico, per rendersi conto come non venga posto in rilievo, ge­neralmente, salvo rarissime e timide ec­cezioni, la nozione di struttura di una leg­ge di composizione.
Il primo risultato evidente è la giustifi­cazione tra il mondo dei numeri e il mon­do delle figure: ripartizione che si rifà, chiaramente, alla concezione imperante in matematica prima che si imponesse la concezione strutturalista.
In tal modo l’abitudine mentale a pen­sare per strutture viene trascurata in geo­metria, cioè là dove – come sottolinea la Castelnuovo – «un ragazzetto può capire la forza costruttiva e sistematica della struttura di gruppo» (5). Il ruolo della struttura di gruppo nell’insegnamento matematico è veramente decisivo, tanto che l’autrice insiste per una vera e propria di­dattica del gruppo.
E, infatti, tra le strutture fondamentali quella di gruppo si rivela di una genera­lità e di una fecondità eccezionali, sia da un punto di vista scientifico che psicolo­gico.
«Un gruppo — esemplifica la Castelnuo­vo — è un insieme di elementi (per fare un esempio, l’insieme dei numeri interi relativi) munito di una legge di composi­zione (per esempio l’addizione) tale che, applicata a due qualunque elementi dell’insieme, dà come risultato un elemento dell’insieme stesso; esiste un elemento neu­tro (in questo caso lo zero), cioè un ele­mento tale che composto con un altro non lo modifica (addizionando lo zero a un numero intero si ottiene lo stesso nume­ro); per ogni elemento «a» esiste un inverso o simmetrico (in questo caso «-a»), cioè un elemento che composto con «a» dà l’elemento neutro; vale la proprietà as­sociativa» (6).
Schematizzando, diciamo che un insie­me ha una struttura di gruppo se:
1) in esso è definita una legge di com­posizione e l’insieme è chiuso rispetto a tale legge;
2) la legge è associativa;
3) esiste nell’insieme un elemento neu­tro rispetto a tale legge;
4) ciascun elemento dell’insieme ha un simmetrico appartenente all’insieme stesso.
Il ruolo del concetto di gruppo nel cur­ricolo matematico fu messo in evidenza dai partecipanti alle conferenze di Budapest (1962) e di Cambridge (1963), il cui compito fu quello di elaborare un progetto generale di riforma nell’insegnamen­to matematico.
Le ragioni valide in base alle quali il concetto di gruppo merita particolare at­tenzione sono così riassumibili: innanzitutto, la struttura di gruppo è alla base delle altre strutture algebriche; in secon­do luogo il gruppo è intrinseco al con­cetto di geometria; i gruppi, inoltre, hanno importanza per l’uso che se ne fa nell’arte e nelle scienze (7).
Quelle sopra espresse sono motivazio­ni intrinsecamente valide all’edificio delle matematiche e delle scienze; in più, si insiste nel sottolineare che la conoscen­za pratica di esempi di gruppo è determinante per lo sviluppo delle capacità proprie del pensiero logico.
In altri termini il concetto di gruppo è decisivo per imparare a ragionare in maniera corretta.
Osserva la Castelnuovo: «… l’esistenza dell’operazione inversa ha, in fondo, il si­gnificato di poter ritornare al punto di par­tenza, e la validità della proprietà asso­ciativa assicura che si può raggiungere lo stesso stadio percorrendo cammini diversi, cioè il punto di arrivo non è alterato dall’itinerario percorso…» (8).
Non è affatto difficile riconoscere in queste caratteristiche del gruppo due delle condizioni da Piaget ritenute indispensa­bili per l’instaurarsi in fase evolutiva delle operazioni implicanti gli aggruppamen­ti: reversibilità e associatività, caratteri spe­cifici dell’intelligenza che differenziano quest’ultima dalla motricità e dalla per­cezione.
Come è intuibile, l’accostamento da noi operato tra le caratteristiche delle strut­ture del gruppo e alcune delle condizio­ni degli aggruppamenti espresse da Piaget investe il problema generale del rapporto tra strutture logico-matematiche e strutture operatorie dell’intelligenza.
Ma tale problema potrebbe essere og­getto di approfondimento futuro.
Ribadiamo, pertanto, che la discussio­ne sui caratteri della matematica moderna deve essere inserita in maniera orga­nica nel contesto degli studi psicopeda­gogici, ed in particolare nell’ambito dell’approccio della psicologia genetico-cogni­tiva di Piaget.
La stessa concezione strutturalistica della matematica risalterebbe in tutta la sua portata didattica sulla base dell’impatto dello strutturalismo bruneriano alla nostra problematica.
NOTE
(1) Cfr. ADLER I., Matematica e sviluppo mentale, Boringhieri Ed., Torino 1972, pagg. 65-67, pag. 134;
HUG C., Il fanciullo e la matematica. Boringhie­ri Ed., Torino 1972, pag. 221;
CASTELNUOVO E., La via della matematica. La geometria, op. cit., pag. X;
(2) ADLER I., Matematica e sviluppo mentale, op. cit., pag. 66;
(3) CIARI B., Le nuove tecniche didattiche, Ed. Riuniti, Roma 1972, pag. 192;
(4) Cfr. ROBERT M., Esperimenti di introduzio­ne della logica nelle scuole elementari, Boringhieri Ed.. Torino 1973:
(5) CASTELNUOVO E., Documenti di un’espo­sizione di matematica, Boringhieri Ed., Torino 1972, pag. 186; Sull’argomento cfr. ibidem, pag. 181-234;
(6) Ibidem, pagg. 182-183;
(7) Cfr. ADLER I., Matematica e sviluppo mentale. op. cit., pagg. 91-105, pagg. 129-150;
(8) CASTELNUOVO E., Documenti di un’espo­sizione di matematica, op. cit., pag. 183.

Autore

Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull’insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.

Docente   di   Scuola   Primaria  (1970-1979)  e  Dirigente  Scolastico  (1979-2007),  ha  collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e della scienze promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

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