ZOLTAN PAUL DIENES (2)

© Educare.it (rivista on line – ISSN: 2039-943X) – Vol. 15, n. 9 – Settembre 2015

La didattica della matematica secondo Dienes –
Il materiale strutturato
Educare.it – Vol. 15, n. 9 – Settembre 2015

Introduzione

In precedenti articoli (1) avevamo fatto riferimento alla nota polemica relativa all’uso del materiale strutturato nell’apprendimento della matematica: c’è, infatti, chi da tempo sostiene la tesi dell’artificiosità dell’utilizzazione di questi artefatti e avverte che tale pratica risulterebbe obsoleta e/o immotivata, addirittura dannosa.

Si tratta, in verità, di una vecchio dibattito cui i lettori italiani erano già assuefatti in virtù della contrapposizione, all’inizio del secolo scorso, tra i sostenitori del Metodo Agazzi e i sostenitori del Metodo Montessori.

Il nostro punto di vista sulla questione – che è un punto di vista che ci pare equilibrato, pragmatico e fondato, peraltro, su elementari consapevolezze di psicologia dell’apprendimento – è che questa contrapposizione risulti piuttosto sterile: l’uso esclusivo del materiale strutturato, senza riferimento assoluto alla vita reale, risulterebbe sicuramente limitativo nella maturazione dei concetti matematici, anzi addirittura sortirebbe l’effetto dannoso di non favorire la “generalizzazione” dei concetti stessi e il “trasferimento” di un concetto appreso da un ambito ad un altro, obiettivi imprescindibili della formazione.

Se desidero facilitare l’apprendimento del concetto di intersezione tra due insiemi non disgiunti ed utilizzo esclusivamente i blocchi logici, il bambino – tutti i bambini, e specialmente i più deboli dal punto di vista delle potenzialità cognitive – avranno certamente difficoltà ad applicare tale competenza nella vita di tutti i giorni.
Ma se, accanto all’uso dei blocchi logici – che pure si prestano a realizzare variegate situazioni apprenditive problematiche (2) – si utilizza anche, come ben sanno i docenti di scuola dell’infanzia e di scuola primaria, materiale ludico (ad esempio: l’insieme di vari mezzi di locomozione di colore rosso di cui alcune moto e un insieme delle moto di vari colori di cui alcune rosse) tutti i minori, e specialmente i più deboli, potranno procedere ad individuare, oltre che l’insieme dei mezzi di locomozione di colore rosso ed l’insieme delle moto, il relativo insieme intersezione delle moto rosse. Sapranno generalizzare, cioè, il concetto di intersezione tra due insiemi non disgiunti con materiale che potrebbe apparire più motivante (ma è proprio vero?) dei blocchi logici.
Se poi si individuano opportunamente due insiemi di frutta (per esempio: l’insieme delle mele di cui alcune gialle e l’insieme della frutta varia di colore giallo, utili a consentire di individuare, oltre all’insieme delle mele ed all’insieme della frutta gialla, anche l’insieme intersezione delle mele gialle) che ho sistemato nel centro del tavolo della cucina che il bambino “vive” quotidianamente, potrò applicare tale apprendimento alla vita reale di tutti i giorni.
In questa maniera avrò facilitato astrazione e generalizzazione del concetto, il trasferimento del concetto stesso in situazioni diverse e ne avrò accelerato il processo di acquisizione e consolidamento cognitivo: né va sottaciuto, peraltro, che se si utilizza soltanto materiale concreto tratto dalla vita quotidiana, il ‘possibile’ eccessivo coinvolgimento negli ‘eventuali’ aspetti ‘emotivi’ di tale manipolazione potrebbe addirittura interferire negativamente rispetto alle caratteristiche concettuali fondamentali che si desidera fare apprendere.
Naturalmente, tutto questo vale se considero il con-cetto di intersezione di due insiemi non disgiunti quale utile specifico obiettivo strutturale astratto di apprendimento.

Se il mio obiettivo è l’apprendimento del sistema di numerazione binario “accanto” a quello decimale, potrò certamente utilizzare gli ‘antichi’ fagioli che utilizzo quando gioco a tombola per formare le coppie, le quaterne, gli ottetti, ecc. e per formare le decine, le centinaia, le migliaia…
Ma se ho a disposizione i blocchi aritmetici multibase (MAB), potrò opportunamente e produttivamente utilizzare tale comoda “protesi didattica”; e l’utilizzazione di tale protesi non mi impedirà di usare anche del materiale tratto della vita reale.
Naturalmente, anche in questo caso: tutto questo vale se considero tale specifico obiettivo strutturale astratto di apprendimento (ossia, l’apprendimento del sistema di numerazione binario accanto a quello decimale) rientrante nei miei obiettivi/progetti educativi, per così dire.

La mediazione didattica dell’insegnante

Ci domandiamo: quale strumento può risultare più duttile, versatile ed ‘immediato’ dei MAB per mostrare già ad un alunno di scuola primaria che il sistema di numerazione decimale che noi abitualmente utilizziamo per la classificazione e la rappresentazione delle quantità è – come tutta la matematica – una pura costruzione della mente umana, è un’assoluta convenzione, dal momento che – peraltro – esso è strumentale e “relativo”, considerato che può essere sostituito da altri sistemi di numerazione.

Ovviamente: sarà cura del docente operare correttamente affinché nella mente di chi apprende non si formi l’errata convinzione che i sistemi di numerazione siano una caratteristica intrinseca ed esclusiva dei MAB!

Se il mio obiettivo è quello di facilitare l’apprendimento del quadrato di un binomio, forse potrò trovare molto utile del materiale strutturato opportunamente creato da Dienes per visualizzare concretamente tale situazione.
Sentiamo, al proposito, di dover – in definitiva – segnalare a tutti gli appassionati la lettura o rilettura di alcune pagine di Bruner: mi riferisco ai paragrafi “Lo stimolo ad affrontare e risolvere problemi” e “Struttura e progressione”, in “Verso una teoria dell’istruzione” (3).

Dunque: a Zoltan Paul Dienes si deve l’adattamento e la creazione di geniale materiale strutturato per l’apprendimento della matematica di cui – ribadiamo, secondo il nostro punto di vista – è opportuno e necessario dotare ogni laboratorio di matematica, in ogni “plesso” scolastico.
Poi, si tratta di utilizzare tale materiale in maniera dialettica, dinamica, considerando, tra l’altro, quei principi di pedagogia matematica che venivano riassunti nel primo dei due articoli di cui alla nota numero (1).

I sei stadi dell’apprendimento in matematica

Quando parliamo di materiale strutturato, ci riferiamo anche a giochi strutturati che propongono situazioni di problem solving.
Nell’uso consapevole del materiale strutturato, così come nell’uso di giochi strutturati, particolarmente utile può rivelarsi la conoscenza puntuale della teoria dei sei stadi nell’apprendimento della matematica individuati da Dienes.

Di seguito si riassumono tali fasi, e in questo riassunto faremo riferimento passo passo – con una libera traduzione ed un libero adattamento – alla efficace descrizione che ne fa MELANIE CLOUTHIER (4).

1 – Fase del gioco libero
La maggior parte delle persone, quando si trova di fronte ad una situazione che non è sicura di gestire, si impegnerà in ciò che di solito è descritto come l’attività “trial and error” (prova ed errore). Quello che farà, sarà di interagire liberamente con la situazione che viene presentata. Nel tentativo di risolvere un puzzle, un soggetto prova a caso questo e quell’elemento fino a quando qualche forma di regolarità della situazione comincia ad emergere. Questa è la fase ludica, che è o dovrebbe essere l’inizio di ogni apprendimento. Questa fase serve soprattutto ad assumere familiarità con la situazione di fronte alla quale ci si trova.

2 – Fase del gioco secondo le regole
Dopo alcuni tentativi, di solito accade che qualche regolarità appare nella situazione: si cominciano ad individuare, insomma, “regole di gioco”. Ogni gioco, infatti, ha alcune regole che bisogna imparare ad osservare. E estremamente utile ed educativo in questa fase inventare qualche “trucco” che corrisponde alle regole che sono insite nell’obiettivo di matematica, il cui apprendimento l’educatore vuole che l’alunno persegua. Questo può essere o dovrebbe essere l’aspetto essenziale di questa parte del ciclo di apprendimento. Potremmo chiamare questa fase “imparare a giocare secondo le regole”, in contrasto con l’apprendimento caratteristico libero della prima fase.

3 – Fase del confronto
Una volta motivati i bambini a utilizzare un gioco, arriva un momento in cui questi giochi possono essere discussi, confrontati tra loro. È bene insegnare diversi giochi con strutture di regole molto simili, ma utilizzando diversi materiali, in modo che dovrebbe diventare evidente che vi è un nucleo comune a diversi giochi, che può essere successivamente identificato come il contenuto matematico di quei giochi che sono simili tra loro per struttura. Quindi, gli studenti saranno incoraggiati a fare i primi passi esitanti verso l’astrazione, che è ovviamente presa di coscienza di ciò che è comune a tutti i giochi con la stessa struttura di regola. Questa fase potrebbe essere chiamata la fase di confronto.

4 – Fase della rappresentazione
C’è un momento in cui lo studente ha identificato il contenuto astratto di diversi giochi. A questo punto si può cominciare a suggerire qualche rappresentazione schematica, come un diagramma, che contribuisca a fissare nella mente dello studente il nucleo comune dei vari giochi. Ognuno dei giochi appresi può poi essere “mappato” secondo questa rappresentazione, che individua gli elementi comuni dei giochi. Questa fase può essere chiamata la fase della rappresentazione.

5 – Fase della simbolizzazione
Sarà ora possibile studiare la rappresentazione o “mappa” e raccogliere alcune proprietà che tutti i giochi, naturalmente, devono avere. Per esempio, si potrebbe verificare se una certa serie di operazioni produce lo stesso risultato di un’altra serie di operazioni. Tale “scoperta” potrebbe quindi essere “verificata” in uno o più giochi. Un linguaggio elementare può essere sviluppato per descrivere tali proprietà della mappa. Questo linguaggio può avvicinarsi al linguaggio simbolico convenzionale utilizzato dai
matematici; o ci si può esercitare ad inventare liberamente nuovi e diversi sistemi di simboli. In un modo o nell’altro, un sistema di simboli può ora essere sviluppato e può essere usato per descrivere le proprietà del sistema appreso. Questa fase può essere chiamata la fase della simbolizzazione.

6 – Fase della formalizzazione
Le descrizioni della fase 5 possono risultare molto lunghe e spesso abbastanza ridondanti. Arriva un momento in cui diventa auspicabile stabilire un certo ordine nel labirinto delle descrizioni. Questo è il momento di suggerire che forse poche descrizioni iniziali sarebbero sufficienti. In tal caso stiamo facendo i primi passi verso la realizzazione di una prima descrizione di regolarità che possono essere i nostri assiomi, e le altre proprietà che abbiamo dedotte possono essere i nostri teoremi. Questa fase potrebbe essere chiamata la fase della formalizzazione.

Come si può vedere, dalla descrizione di queste sei fasi risulta confermato che l’attività ludica, inizialmente libera e poi via via sempre più strutturata, è un’ottima procedura per l’apprendimento di concetti matematici.

Le opportunità del materiale strutturato

Dunque: un deciso sì al materiale strutturato, alle protesi didattiche, agli artefatti; sì a blocchi logici, a blocchi aritmetici multibase, ad abaci, bilance dei numeri, domini, carte, geopiani, giochi strutturati, macchine matematiche, ecc.

E ci pare opportuno rammentare l’importante contributo, in merito, di Maria Montessori, che concepiva il materiale strutturato quale mondo delle astrazioni materializzate indispensabile per la formazione delle strutture logiche e matematiche.

Similmente, in questo contesto, desideriamo caldeggiare a chiare lettere l’assoluta utilità dei regoli Cuisinaire-Gattegno, ossia dei cosiddetti numeri in colore, materiale
che da più di un decennio è fatto oggetto di immeritate aggressioni ed invettive ‘psicopedagogiche’, se ci si consente l’espressione.
Questo materiale risulta molto valido – com’è ben noto – già a partire dalla scuola dell’infanzia per l’attività di numerazione, seriazione di elementi, ecc. Il guaio è che poi, dopo aver magari impiegato/perso tempo, nella scuola primaria, in una prima classe, a costruire muretti per un intero anno, esso viene successivamente abbandonato, mentre può essere validissimo nei primi apprendimenti di misurazione geometrica, nell’apprendimento molto vario delle frazioni. E può sostituire o affiancare i MAB – insieme con i fagioli della tombola! – per l’apprendimento dei diversi sistemi di numerazione.

Naturalmente, il docente farà uso “critico” di materiale vario per raggiungere gli obiettivi formativi da perseguire e raggiungere, evitando così il rischio che gli alunni attribuiscano alle caratteristiche percettive di un unico e pervasivo materiale le connotazioni concettuali che si desiderano siano apprese, favorendo astrazione e generalizzazione ed evitando il rischio della formazione di quelle “misconcezioni” che sono state giustamente denunciate da alcune ricerche.

Tutto ciò – insomma – a condizione che l’uso dei “mediatori didattici” sia consapevole, purché l’operatore scolastico ricordi che, prima dei mediatori, accanto ai mediatori e/o in assenza di questi ultimi, per quantificare gli elementi del reale, ossia, per contare, l’uomo può far uso … delle dita di una mano (base 5), delle dita di due mani (base 10) , delle dita delle mani e dei piedi (base 20) come facevano, ad esempio, gli Aztechi … Che, nel contare le pecore, l’uomo può fare comodamente riferimento – in assenza dei numeri in colore o dei MAB – alle tacche incise su un bastone di legno … …

Insomma: se ho quale obiettivo di apprendimento, in una prima classe ‘elementare’, la comprensione della commutatività dell’operazione dell’addizione nell’insieme dei numeri naturali, potrò mai concepire che tale obiettivo debba essere perseguito e raggiunto esclusivamente manipolando per un intero anno scolastico o per tutta la vita il regolo 2 ed il regole 3, il regolo 3 ed il regolo 2? Possibile che non mi debba sfiorare l’idea dell’opportunità/necessità di utilizzare immediatamente – accanto ai regoli o prima dei regoli – due pere e tre mele, tre mele e due pere?

A condizione che, dunque …
… E purché il docente, nello stesso tempo, non dimentichi mai che – come direbbe Bruner – il compito della formazione cognitiva è la “denaturazione” motivazionale dei processi di apprendimento, ossia quello di favorire nel soggetto che apprende la liberazione dalla necessità del riferimento alla realtà concreta nella formazione dei concetti, senza che sia perso, mai, nel contempo, il riferimento alla realtà stessa.

Ovviamente: non è che, utilizzando il materiale strutturato, il docente nutrirà ingenuamente l’illusione di aver trovato ricette, modalità sicure, panacee, di aver individuato – addirittura – il metodo unico, la procedura perfetta valida per affrontare la complessità dell’insegnamento/apprendimento della matematica, come giustamente segnala da tempo D’Amore.
Non è di certo il materiale strutturato che può risolvere le questioni della risoluzione dei problemi nella pratica didattica e nella vita di tutti i giorni, dell’insegnamento per problemi, dell’insegnamento individualizzato, del rispetto degli stili cognitivi degli studenti, dell’apprendimento per la maestria, dell’educazione alla creatività: se così fosse, ciò
significherebbe barattare in maniera non onesta strumenti didattici utili per apprendimenti “specifici” con la complessità della formazione logica e matematica, illudendosi – magari, chissà – di confrontarsi addirittura con la finalità educativa – che urge, drammaticamente – della “formazione della mente critica”.
Se così fosse, tale inappropriata, inopportuna, dannosa “assolutizzazione” del materiale strutturato darebbe pienamente ragione, senza dubbio alcuno, ai critici dell’abuso del materiale stesso.

Il “modus tollens” della logica classica

In definitiva: siamo convinti che un uso consapevole, equilibrato, “fortificato” da solide competenze psicopedagogiche possa costituire un valido antidoto a quei tipici disfunzionamenti della relazione didattica, quale ad esempio quello che Brousseau aveva chiamato esplicitamente effetto Dienes, consistente nell’eccessiva esaltazione di un metodo di insegnamento, nell’utilizzazione acritica del materiale strutturato, nella fideistica attesa di risultati che il materiale possa produrre negli apprendimenti degli allievi, nella sottovalutazione dell’impegno che il docente stesso deve impiegare in ordine alla promozione dei processi di apprendimento.

Non va mai dimenticato, al riguardo, che nella storia della pedagogia sono risultati delle “costanti” gli errori compiuti nell’applicazione di un metodo: errori determinati dai fraintendimenti dei seguaci non-critici del metodo stesso e che non sono assolutamente da addebitare a chi ha dato nome al metodo stesso.

Ci permettiamo di formulare l’ipotesi che “misconcezioni” nonché effetti perversi quale quello denunciato da Brousseau possano essere il risultato – in generale – di una scarsa formazione psicopedagogica e – nello specifico – di un inadeguato approfondimento del pensiero di Dienes, nonché di una errata applicazione proprio di quei quattro principi della “pedagogia matematica” cui abbiamo già fatto riferimento e che di seguito, per comodità, ancora una volta riproponiamo, giusto per evidenziare ed esaltare la portata formativa, in questo stretto contesto, del terzo di essi:

1) principio dinamico: la conoscenza procede dall’esperienza all’atto di ordinare in categorie, per esperienza intendendo non soltanto oggetti concreti “isomorfi” a una data struttura che si vuole sia appresa dal soggetto, bensì anche strutture e giochi puramente mentali;
2) principio di costruttività: il fanciullo, per elaborare delle strutture, parte da una situazione intuitiva per esaminare analiticamente la costruzione realizzata e determinare infine rapporti e relazioni fra gli elementi di un insieme;
3) principio di variabilità percettiva: una medesima struttura deve essere incontrata in svariate situazioni diverse, perché soltanto in tal modo ci si può rendere conto delle sue proprietà propriamente strutturali;
4) principio della variabilità matematica: poiché in ogni concetto matematico sono implicite variabili essenziali, tutte queste variabili devono venire variate se si deve giungere alla completa generalità di un qualsiasi concetto matematico.
Se, dunque, una determinata “struttura” – come dice Dienes, ma come detterebbe un sano senso comune pedagogico – deve essere incontrata in svariate situazioni diverse perché l’allievo si possa rendere conto delle sue proprietà strutturali, come può mai venire in mente di presumere che un unico materiale assunto in adozione a vita possa produrre tale risultato?

Se “a”—>”b” ^ se non “b”—> non “a”

Se “a” allora “b” e se non “b” allora non “a”
Questo recita – come amiamo, sottovoce, molto spesso ricordare – il “modus tollens” della logica classica, che poi è il nodo cruciale della ricerca scientifica.
Ossia, in questo caso “specifico”: se i principi della pedagogia matematica di Dienes sono applicati correttamente nell’attività di insegnamento, allora i risultati “specifici” dell’apprendimento sono positivi e se i risultati “specifici” dell’apprendimento non sono positivi allora vuol dire che i principi della pedagogia matematica di Dienes non sono applicati correttamente.
Quella surriportata è un’ipotesi che, così impostata, sarebbe da “falsi-ficare” – cfr. POPPER, K.R., Logica della scoperta scientifica, Torino, Einaudi Ed., 1970 – da qualche volenteroso istituto di ricerca pedagogica.

Nel frattempo: agli interessati, si segnala che basta digitare in un qualsiasi motore di ricerca e investigare sul web “dienes e il materiale strutturato”, “d’amore e i numeri in colore”, “brousseau e l’effetto dienes”, o qualcosa di simile, per trovare immediata, ricca traccia della problematica in discussione: l’attento esame del contenuto dei relativi “link” aiuta ad affrontare in maniera critica e consapevole la tematica di cui trattasi ed a fare buon uso del materiale strutturato nella prassi didattica.

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Note
(1) Cfr. Conese, A., La didattica della matematica secondo Dienes, Giocare per apprendere, in “Educare.it”, Anno XI, N. 5, aprile 2011; Conese, A., Quale interdisciplinarità nella didattica, in “Educare.it”, Anno XII, N. 1, dicembre 2011.
(2) Circa il prezioso contributo di Dienes alla creazione e all’adattamento di materiale strutturato per l’insegnamento della matematica, si fa ampio riferimento alla bibliografia indicata nel primo dei due articoli di cui alla precedenta nota (1).
(3) Cfr. BRUNER, J. S., Verso una teoria dell’istruzione, Roma, A. Armando Ed., 1973, pagg. 95 e segg.
(4) Cfr. CLOUTHIER, M., Zoltan Dienes’ Six-Stage Theory of Learning Mathematics, in http://www.zoltandienes.com/.

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Autore
Antonio Conese è laureato in Pedagogia ed ha approfondito le problematiche concernenti l’insegnamento della matematica e delle scienze e la “dimensione europea della scuola”.
Docente di Scuola Primaria e Dirigente Scolastico, ha collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e delle scienze.
Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

PUBBLICAZIONE

L’insegnamento della matematica

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