COPYRIGHT : http://www.wired.it – Stefano Pisani, 30 marzo 2016
Ecco come impilare al meglio arance (secondo la matematica)
È un po’ complicato ma si può fare: le arance in dimensione 24 vanno sistemate secondo il reticolo di Leech
Come converrebbe disporre, in modo da farlo più efficacemente possibile, una pila di arance se viveste in un mondo a 8 dimensioni o, peggio, a 24? Oggi arriva la risposta della matematica, nel caso in cui voleste tentare la carriera di fruttivendolo ventiquattrodimensionale.
Nel 1611, Giovanni Keplero suggerì come disporre al meglio sfere in tre dimensioni, che fossero palle di cannone oppure arance, e disse che la migliore configurazione possibile era quella di una piramide. Si è dovuto poi aspettare fino al 1998 per avere la prima dimostrazione di questa congettura da parte di Thomas Hales dell’Università di Pittsburgh, e altri 16 anni (era il 2014) per la prima verifica formale completa, con l’ausilio di un computer, dell’esattezza di questa dimostrazione.
Ma perché fermarsi alla banalità del caso tridimensionale? Maryna Viazovska dell’Università Humboldt di Berlino ha infatti dimostrato che, in uno spazio a otto dimensioni, esiste una forma ottimale di disposizione delle sfere a otto dimensioni (ossia delle ipersfere) di quel mondo, ed è quello che in matematica è noto come reticolo E8. Inoltre, successivamente, dalla collaborazione della Viazovska con il gruppo di Henry Cohn e colleghi del Microsoft Research New England di Cambridge è arrivata la dimostrazione che in dimensione 24 la disposizione ottimale è quella che è conosciuto come reticolo di Leech. Erano vent’anni che non veniva risolto un problema del genere in dimensione diversa da tre.
In matematica esiste il problema dell’impacchettamento delle sfere, una sfida in cui si deve trovare una disposizione in cui le sfere riempiano una porzione di spazio il più esteso possibile. La porzione di spazio riempita dalle sfere viene chiamata densità della disposizione. Il problema è come rendere massima questa densità.
Il reticolo E8 (tecnicamente appartenente, in algebra, ai gruppi di Lie) è considerato da molti una delle più belle strutture matematiche mai concepite. La Viazovska ha dimostrato che disponendo le sfere (ipersfere, in dimensione maggiore di tre) nei punti di questo complesso reticolo, si ottiene la densità massima di impacchettamento (in dimensione 8) e che questa corrisponde a poco più del 25 per cento (nel caso tridimensionale, la piramide arrivava fino al 74 per cento).
Ma a cosa serve capire come impacchettare delle arance in 8 e 24 dimensioni? Anche se non sembra, ci sono importanti applicazioni pratiche. Per esempio, aver risolto il problema dell’impacchettamento delle sfere in 24 dimensioni può migliorare le comunicazioni wireless e può essere utile per comunicare con sonde che vengono inviate nelle profondità del Sistema Solare: immaginando ogni segnale inviato come una sfera, la soluzione del problema dell’impacchettamento in 24 dimensioni può aiutare a sapere quanti canali di comunicazione si possono utilizzare per evitare il sovraffollamento dei segnali stessi, in modo quindi da scongiurare ambiguità ed errori di trasmissione.
Antonio Conese 