LA MATEMATICA NON È INVARIABILE

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

copyright © “i diritti della scuola”,  Anno XCII – 15.1.92, Milano, Edizioni Scuola Vita, pagg. 18-21.

La matematica non è invariabile

Antonio Conese

Abbiamo alluso volutamente, nel titolo, a quello significativo e di «rottura» di un paragrafo del testo di A. Revuz Matemati­ca moderna, matematica viva (1), in cui il matematico discute difficoltà, incompren­sioni e reazioni sorte allorquando intorno al 1950 in Francia, al di fuori della cer­chia degli specialisti, si ebbe sentore di mu­tamenti avvenuti nell’edificio delle matematiche, del dibattito sulla rifondazione e ricostruzione di tale edificio, di sostanziali modifiche che si ponevano riguardo alle prospettive di tali studi, della necessità, quindi, di una revisione dell’insegnamen­to della matematica a livello di contenuto e metodo.
Non era forse opinione piuttosto comu­ne, anche tra il pubblico colto, che la matematica è una scienza immutabile?
In fondo, la cittadella matematica – si riteneva – era stata edificata dai Greci e da allora niente di sostanziale era accadu­to nell’universo di tale scienza.
Ma nessuno potrebbe mettere in dubbio che vi sia stata una matematica preelleni­ca assai sviluppata: «non solo le nozioni (già molto astratte) di numero intero e di misura di grandezza sono state usate cor­rettamente nei più antichi documenti egi­zi e caldei a noi prevenuti, ma, per la ele­ganza e la sicurezza dei suoi metodi, non si può immaginare l’algebra babilonese come un semplice insieme di problemi risolti con tentativi empirici» (2).
Del resto anche fra gli stessi Greci trascorsero secoli tra Pitagora e Talete (6° sec. a.C.) da una parte, Euclide e Archimede (3° sec. a.C.) dall’altra.
Vi furono, poi, lunghi periodi di stasi, ma le ricerche matematiche ebbero nuovi impulsi e linfa vitale e costruttiva dal XVI secolo in poi.
I fondamenti della matematica cosiddet­ta «nuova» furono posti nel XIX secolo. Le scoperte nei vari campi di ricerca incon­trarono scarsa comprensione nei circoli ac­cademici, anche perché sembrava trattarsi di scoperte relegate sul piano della pura speculazione, prive della possibilità di ap­plicazione pratica. Tuttavia esse costitui­rono – come qualcuno ha detto – il vivaio per l’età dell’oro della matematica.
Tentiamo, dunque, di avviarci alla com­prensione dei caratteri di tale Età dell’Oro della matematica.
Dall’antichità fino al XIX secolo i mate­matici furono concordi nell’individuare nei numeri, nelle grandezze e nelle figure l’og­getto dei loro studi; inoltre, «quali che fos­sero le sfumature che caratterizzavano gli oggetti matematici di questo o quello matematico o filosofo, si dava però un punto almeno sul quale esisteva l’unanimità: che gli oggetti ci venivano dati, e che non era in nostro potere attribuire ad essi proprie­tà arbitrarie, così come un fisico non può modificare un fenomeno naturale» (3).
Se, per Aristotele e gli stoici, certe rego­le erano dedotte da altre grazie a schemi di ragionamento, le regole primitive erano tuttavia sempre accettate come evidenti.
La matematica greca si fondava, insom­ma, su una sorta di certezza empirica: il successo della scienza si fondava sulla fi­ducia ispirata dagli assiomi propriamente detti.
Per lungo tempo la matematica greca po­té sembrare perfetta, ma non lo era per una duplice ragione.
Innanzitutto il suo dominio era limitato: il primo colpo inferto alle concezioni clas­siche fu proprio l’edificazione della geome­tria non euclidea. Essa costrinse ad abbandonare la convinzione sulla verità assolu­ta della geometria euclidea e, soprattutto, costrinse a modificare il punto di vista delle definizioni implicanti gli assiomi: questi ul­timi «non vengono più considerati come evidenti, bensì come ipotesi di cui dev’es­sere accertata l’adeguatezza alla rappresen­tazione matematica del mondo sensibile» (4).
L’altro aspetto, altrettanto fondamentale, che doveva portare in crisi le basi dell’edificio euclideo era la sua mancanza di rigore: in esso vi era più di una imperfe­zione; e, del resto, le nuove acquisizioni mettevano in forte imbarazzo i matemati­ci proprio per la mancanza di chiari fon­damenti.
Ad esempio, in algebra vi era stata la conquista dei numeri negativi; anche i numeri irrazionali, che avevano messo in cri­si la Scuola pitagorica (5), venivano ado­perati senza connotazioni soddisfacenti.
Sulla base di quanto accennato risulta chiaro perché durante il secolo XVIII il concetto di dimostrazione non era più tanto sicuro: i matematici, infatti, non erano nelle condizioni di stabilire, al contrario dei Greci, le nozioni sulle quali ragionare nonché le proprietà delle stesse.
L’ottocento si apriva dunque, sul terreno delle matematiche, con una diffusa esigenza di rigore. Tale esigenza di rigore ebbe come conseguenza – lo si è già accen­nato più sopra – la revisione del concetto di evidenza dell’assioma: «l’assioma cessò allora di essere definito… come una proposizione vera, ma che non si può dimo­strare: fu semplicemente considerato come il punto di partenza di una teoria. In quanto alla sua verità, essa diventa eviden­temente relativa, poiché è possibile modi­ficarla» (6).
Si prescinde, dunque, dall’evidenza dell’assioma; ma non soltanto: la costruzio­ne dell’assioma è considerata chiaramen­te artificiale, conformemente al punto di vista emergente nella storia della «logica simbolica»: gli assiomi sono delle conven­zioni e la verità matematica sta, quindi, solo nella deduzione logica, sulla base di premesse poste arbitrariamente grazie agli as­siomi stessi; salvo poi che anche la validi­tà delle regole logiche sarà rimessa in discussione dalla «crisi dei fondamenti» che investirà matematica e logica intorno al 1900 (7).
La teoria degli insiemi

L’esigenza di rigore che interessò la matematica durante il secolo XIX portò il logico-matematico italiano Giuseppe Peano a perseguire un programma di sistema­zione della aritmetica a partire da assiomi convenzionalmente stabiliti. Va sottolineato, però, che altri studiosi cercavano di mostrare come lo stesso concetto di nume­ro non è primitivo, ma può ricondursi al concetto logico di classe: l’aritmetica, insomma, andava cedendo il posto, per al­cuni matematici, alla teoria degli insiemi.
Il riconosciuto fondatore della teoria degli insiemi è Georg Cantor: a lui si deve l’edificazione del «ramo certo più ardito e complesso della matematica moderna, an­cora oggi aperto ad impensati sviluppi» (8).
Cantor iniziò i suoi lavori a partire dal 1870: la teoria degli insiemi incontrò straordinarie difficoltà nell’ambito dei cir­coli accademici, e l’incomprensione nei ri­guardi delle ricerche provocò a Cantor i sintomi di una malattia nervosa, che inci­se naturalmente sulla sua produttività matematica.
In realtà, è da dire che il concetto di in­sieme si era già affacciato sin dall’antichi­tà nell’opera di altri ricercatori, anche se in maniera implicita; del resto, in connes­sione con i concetti di appartenenza e di inclusione aveva condotto ad enunciare anche assiomi come «il tutto è più grande di una parte».
Ma le complicazioni intervenivano allor­ché al concetto di insieme erano associati quelli di numero e di grandezza, quando cominciavano ad entrare in ballo concetti quali insieme finito e insieme infinito.
Il primo impatto tra insieme finito e in­sieme infinito si presenta con la scoperta degli irrazionali da parte della Scuola di Pitagora; dagli eleati fino a Cantor i mate­matici si incontreranno sempre con il pa­radosso della grandezza finita composta da un numero infinito di punti senza dimen­sione. La scoperta della incommensurabi­lità della diagonale con il lato del quadrato e le argomentazioni di Zenone d’Elea, che mettono in risalto l’opposizione diret­ta tra le due nozioni di finito e infinito, ispi­reranno difficoltà verso il concetto intuiti­vo di infinito.
Sarà l’autorità di Aristotele a tagliare la testa al toro: il filosofo imporrà a tutta una schiera di matematici una remora all’am­missione dell’infinito attuale, ossia dell’e­sistenza di insiemi costituiti da un nume­ro infinito di oggetti pensati o pensabili si­multaneamente (9).
Saranno proprio le considerazioni suac­cennate che impediranno a Galilei di inaugurare uno studio razionale sugli insiemi infiniti. Galilei s’imbatté per primo nel ger­me della nozione generale di ‘equipoten­za’: egli infatti intuì la corrispondenza biu­nivoca fra l’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei quadrati dei numeri naturali e s’accorse che l’assioma ‘il tutto è maggiore di una parte’ non poteva essere appli­cato agli insiemi infiniti.
Questa constatazione – però – non eb­be altro effetto che quello di accrescere la diffidenza di Galilei nei riguardi dell’infi­nito attuale.
Un primo deciso spiraglio alla conside­razione dell’infinito attuale si trova in Bi­sanzio; ma è con Cantor che si ha l’aper­tura definitiva ai problemi dell’infinito matematico (10).
Ciò che a noi interessa a questo punto è l’enucleazione del significato e della portata dell’opera di Cantor e la messa in evi­denza del senso della fondazione della stes­sa aritmetica sulla teoria degli insiemi.
Soffermiamoci perciò brevemente sui ben noti concetti-chiave di ‘corrispondenza biunivoca’ e di ‘potenza’ di insieme. Ponia­mo due classi ‘A’ e ‘B’ e pensiamo di ope­rare una corrispondenza fra gli elementi di un insieme e quelli dell’altro insieme; supponiamo di poter far corrispondere ad un elemento di un insieme uno ed uno soltan­to degli elementi dell’altro insieme e viceversa: in tal caso si dice che s’è operata una ‘corrispondenza biunivoca’ fra gli elementi dei due insiemi, che gli insiemi hanno lo stesso ‘numero cardinale’, la stessa ‘poten­za’, sono cioè ‘equipotenti’.
«Per quanto banale possa parere una simile considerazione – scrive Evandro Agazzi -, essa è tuttavia della massima im­portanza, poiché ci dice che noi possiamo sapere se due classi hanno la stessa cardi­nalità (o, in caso contrario, quale la car­dinalità maggiore dell’altra) anche senza saper contare, ma semplicemente eseguendo l’operazione, del tutto meccanica, di porre in corrispondenza biunivoca i loro ele­menti.
Come conseguenza si ha subito che, dal punto di vista logico, il concetto di nume­ro non si presenta più come primitivo, ma come ricavabile da quello di classe e di corrispondenza biunivoca fra elementi di classi: potremo infatti definire il numero cardinale di una classe ‘A’ come quella ca­ratteristica che hanno in comune tutte e solo le classi i cui elementi si possono porre in corrispondenza biunivoca con gli elementi di ‘A’, e definire poi, in generale il numero cardinale come la caratteristica che hanno in comune fra di loro tutte e solo le classi aventi eguale ‘potenza’ (…). È poi facile ricavare da questa defi­nizione quella di numero naturale» (11). Certo, sul piano evolutivo l’approccio al concetto di numero risulta, per la verità, più complesso e si avvale – come sotto­lineano i «Nuovi Programmi» – di diversi punti di vista (ordinalità, cardinali­tà, misura, ecc.); ma non è di questo che si vuole discutere in questa sede.
Interessa qui evidenziare che – come argomenta lo Agazzi – le acquisizioni di Cantor risaltano in tutta la loro straordi­narietà quando si passa a considerare in­siemi che effettivamente non si possono contare: gli insiemi infiniti. Studiando op­portune maniere per stabilire corrispon­denze biunivoche tra gli elementi di in­siemi infiniti, questi si possono confron­tare tra di loro; si può cioè arrivare alla comprensione di concetti al di fuori del senso comune: Cantor costruisce insom­ma una vera e propria aritmetica dell’in­finito.
A noi interessa ribadire che, dal punto di vista dell’indagine sui fondamenti, tutto questo serve – quindi – a definire il concetto di numero naturale mediante il concetto di classe e, dopo aver ricavato le varie leggi ed operazioni dell’arit­metica da analoghe leggi ed operazioni del calcolo delle classi, si riconduce la stessa aritmetica alla teoria degli insiemi.
A ben guardare la stessa matematica viene a risultare un ramo della logica, dal momento che è quest’ultima che fornisce i fondamenti alla matematica: «la logica non solo fornisce alla matematica lo stru­mento deduttivo per sviluppare le sue di­mostrazioni, ma addirittura gli oggetti sui quali essa opera» (12).
Questa è del resto la posizione dello stesso Bertrand Russel nell’opera ‘Princi­pia Matematica’ scritta in collaborazione col suo ex maestro Whitehead.
Russel, dunque, ed in questo egli è in linea con l’altro grande logico Frege (13), sottolinea che la matematica si può ri­durre ad un ramo della logica.
Non è chi non veda quanto distante ap­paia la posizione assunta al riguardo dai «Nuovi Programmi», che considerano la logica un «settore» della matematica e assegnano ad essa il ruolo di mezzo per met­tere ordine, per controllare il lavoro fatto, per analizzare i discorsi matematici svilup­pati (14).
Eppure non v’è dubbio che «uno dei pe­ricoli che può derivare dal fatto di consi­derare la logica solo come una parte del programma di matematica può essere… quello di non cogliere con sufficiente chia­rezza anche il carattere pervasivo che l’e­ducazione logica deve avere» (15).
(1) Cfr. Revuz, A., Matematica moderna, matema­tica viva, Roma, Armando ed., 1968, pag. 12;
(2) Bourbaki, N., Elementi di storia della matema­tica, Milano, Feltrinelli ed., 1963, apg. 9; Un’avvin­cente storia della matematica, ricca di note antropo­logiche e di considerazioni critiche sulla portata delle varie scoperte si trova in: Dantzig, T., Il numero linguaggio della scienza, Firenze, «La Nuova Italia» ed., 1965;
(3) Bourbaki, N., Elementi di storia della matema­tica, op. cit., pag. 29;
(4) Ibidem, pag. 26;
(5) Cfr. Frajese, A., Introduzione elementare alla matematica moderna, Firenze, Le Monnier ed., 1969, pagg. 61-74;
(6) Revuz, A., Matematica moderna, matematica viva, op. cit., pagg. 29-30; per tutta la discussione che stiamo portando avanti cfr. Geymonat, L., Storia del pensiero filosofico e scientifico, Milano, Gar­zanti ed.. 1971, vol. 4° pagg. 140-199, pagg. 566-571; vol. 5°, pagg. 755-830;
(7) Cfr. Agazzi, E., La logica simbolica, Brescia, «La Scuola» ed., 1964, pagg. 87-174.
(8) Agazzi, E., La logica simbolica, op. cit., pag. 138;
(9) Cfr. Bourbaki, N., Elementi di storia della matematica, op. cit., pagg. 38-45;
(10) Geymonat L., Storia del pensiero filosofico e scien­tifico, op. cit., vol. 5°, pagg. 786-807;
(11) Leccese, G., Elementi della teoria ingenua degli in­siemi, Firenze, Sansoni ed., 1973, pagg. 87-99;
(12) Cfr. Frajese, A., Introduzione elementare alla matematica moderna, op. cit., pagg. 56-112;
(13) Agazzi, E., La logica simbolica, op. cit., pagg. 138-139;
(14) Ibidem, pag. 22;
(15) Cfr. Russel, B., Storia della filosofia occiden­tale, Quarto Volume, da Rousseau ad oggi, Milano, Longanesi ed., 1967, pagg. 1097-1101;
(16) Cfr. Pellerey, M., Una matematica di base per il cittadino di domani, in AA.VV., I Nuovi Programmi della scuola elementare, Firenze. Giunti Lisciani Edd., 1984, p. 47;
(17) Petter. G., Psicologia e scuola primaria. Rapporti tra sviluppo psicologico e alfabetizzazione cul­turale, Firenze, Giunti-Barbèra Edd., 1988, p. 247.

Autore
Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull’insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.
Docente di Scuola Primaria (1970-1979) e Dirigente Scolastico (1979-2007), ha collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.

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